Informații teoretice de bază.
Se numește convergentă. în cazul în care limita sumelor sale parțiale. Numărul se numește suma seriei. În cazul în care există limita sumei parțiale, atunci seria (1) este divergentă.
Testul necesare pentru realizarea convergenței. Dacă seria (1) converge, atunci termenul său general tinde la zero. .
condiții suficiente pentru convergența seriilor cu termeni pozitivi () sunt:
a) testul comparativ în forma finală: if
rândurile și simultan converge sau divergenta. Ca o referință pentru seriile de comparație, în general, sunt:
un număr de convergente și divergente la momentul;
serii. convergente și divergente.
b) testul d'Alembert lui: în cazul în care există
atunci seria converge și divergenta. În cazul în care. problema convergenței acestei caracteristici nu poate fi rezolvată.
Un număr de membri care au semne diferite, a declarat a fi convergenta. în cazul în care seria converge și divergenta și converge absolut. în cazul în care seria converge.
c) Leibniz Simptom: Dacă termenii seriei îndeplinesc următoarele condiții:
1) (adică o serie alternantă); 2);
3). atunci seria converge. Precizie. derivată din înlocuirea sumei unei sume serii alternante convergente a primelor n termeni, în valoare absolută mai mică decât primul termen neglijat:
A numit-o serie de putere [relativă], punctul de descompunere al centrului unui număr de factori. Numărul este numit raza de convergenta seriilor de putere, în cazul în care seria (5) converge și divergenta. Atunci când un număr atât este convergentă și divergentă. Intervalul se numește intervalul de convergență a seriei de putere (5). R raza de convergență poate fi găsită prin formula
Seria de putere (5) în interiorul intervalului termwise de convergență se poate integra și diferenția menținând în același timp raza de convergență.
Exemplul 1. Testul pentru convergența unei serii numerice.
Decizie. Verificați convergența seriilor pe baza D'Alembert (3). Deci, ca un termen general al seriei. apoi, înlocuind în expresia unui membru al n n- cu n +1, este situat. Apoi ne uităm pentru următoarele relații limită cu un membru al precedente:
Deoarece limita rezultată este egală cu unitatea, testul d'Alembert lui nu răspunde la întrebarea de convergență a seriei (aici pentru a calcula limita au fost folosite regula L'Hospital lui). Acum aplicăm testul comparativ în forma finală. Seria de referință va selecta un număr. și (2) obținem
În consecință, seria analizată este divergente, ca seria de referință cu divergenta termen general (seria armonică).
Exemplul 2. Găsiți raza și intervalele de convergență a seriei de puteri. Pentru a investiga convergența capetele intervalului de convergență.
Decizie. Raza de convergență de formula (6):
convergență Intervalul unui număr determinat de intervalul sau mai puțin.
Vom examina capetele intervalului de convergență. Atunci când primiți o serie de numere
care divergență poate fi stabilită prin compararea caracteristicii de limitare (numărul de referință - armonic).
Atunci când primiți o serie de numere
care converge pe baza Leibniz. Deoarece seria constând din membrul absolut al seriei, și anume, serii. divergenta, atunci seria converge investigate în mod condiționat.
Astfel, intervalul de convergență a seriei de putere a testului este dat.