Vector-scalar
Un quaternion este o pereche unde - vector spațiu tridimensional, și - un scalar, adică un număr real. operațiunile de adiție sunt definite după cum urmează:
Lucrarea trebuie să fie distributivă și
unde denotă produsul scalar. și - produsul vectorial. Anticommutativity produs vectorial în această din urmă definiția implică produsul noncommutativity de quaternions.
definition matrice
Prin matrici complexe
Alternativ, quaternions poate fi definit ca matrici complexe ale formei cu produsul matrice obișnuită și suma:
aici și notat cu complex număr conjugat k și.
Această idee are câteva proprietăți remarcabile:
- număr complex corespunde unei matrice diagonală;
- imperechere corespunde matrice quaternion conjugat transpusa :;
- modulul pătrat al quaternion este determinantul matricei corespunzătoare :.
Prin matrici reale
Quaternions poate fi definit ca o matrice reală a formei cu produsul matrice obișnuită și suma:
Cu această înregistrare:
- quaternion împerechere corespunzătoare matrice transpusă :;
- a patra unitate de putere quaternion este determinantul matricei corespunzătoare :.
Definiție standard
Quaternions poate fi definit ca o sumă formală care - numere reale, și - unitate imaginară cu proprietatea: i = 2 j 2 = k 2 = ijk = - 1. Astfel, tabelul de multiplicare a cuaternionii de bază - - arată astfel: