Matricea inversă este determinată numai pentru matrici pătrate.
Definiția 1. Matricea B este inversul matricei A, dacă AB = BA = E.
Matricea are un invers este numit reversibil. Matricea inversă este notată cu A 1.
Proprietățile matricei inverse.
1 ˚. Dacă B este inversul A, atunci A este inversul B.
Dovada acestei proprietăți decurge direct din definiția. Astfel, avem (A-1) -1 = A
2 ˚. Dacă matricea A are un invers, atunci este unic.
Dovada. Fie X și Y - două inversa a A. Apoi XA = AX = E și YA = AY = E.
Luați în considerare X (AY) = XE = X.
Pe de altă parte X (AY) = (XA) Y = EY = Y.
In consecinta X = Y.
3 ˚. Dacă matricele A și B sunt inversate, atunci AB este înapoi, și (AB) -1 = B -1 A -1.
O formulă explicită pentru matricea inversă.
Fiind dată o matrice
Să presupunem că matricea A are un determinant non-zero. Apoi, inversa unei matrice A poate fi găsită de formula
unde - determinantul A - Adăugarea algebric elementelor
matrice A. Adică, = Aici- determinant obținut din determinantul matricei A prin ștergerea rândului i-lea și coloana j-a.
Pentru a dovedi că această formulă dă inversul A, este necesar să se arate că. Facem acest lucru pentru o matrice de ordine 3. (În cazul general, dovada este exact la fel).
=
Aici, pe diagonala principala este suma produselor elementelor din coloana j-prin cofactori lor, apoi prin teorema de expansiune în orice coloană a acestei expresii este egal cu determinantul matricei A. În afara diagonalei principale este suma produselor elementelor din coloana j-de cofactori a elementelor k a coloanei (în locul kj), care este egal cu zero, prin teorema de expansiune în orice coloană.
Aplicăm teorema privind extinderea în orice linie.
De exemplu, ++ = 0kak suma produselor elementelor din primul rând de pe cofactori la elementele din al doilea rând, 0kak + = suma produselor elementelor celui de al treilea rând pe cofactori la elementele din al doilea rând, + + = suma produselor elementelor din rândul al doilea (ei) la cofactori elementelor de al doilea rând.
TEOREMA 1. Determinantul unui produs de matrici este produsul determinanților.
Teorema 2. (testul inversabilitate). Matricea are un invers, dacă și numai dacă determinantul său este nenul.
Dovada. Necesitate. Lăsați matricea A are un invers. Apoi. Apoi det, dete = 1. det = DETA (pe teoreme1). prin urmare
DETA = 1. Deci, DETA.
Suficiență. Să determinantul A este diferit de 0. Atunci
Există mijloace pentru matrice inverse A.
Găsirea unei matrice inverse a metodei Gauss.
Luați în considerare următoarele matricea de transformare A:
locuri de schimbare linia 2
multiplica rând printr-un număr nenul
la orice linie pentru a adăuga un alt rând, înmulțit cu orice număr.
Prin ordinul a matricei A n atribui matricea identitate de același ordin
Se aplică la matricea (A | E) Metoda Gauss' (similar cu cel descris în calculul determinantului metodei Gauss), astfel încât matricea A, în loc să primească matricea de identitate. Ce se întâmplă în acest caz E matrice pe loc, va fi inversul A. Este posibil să se aplice converti numai siruri de caractere.
Exemplul 1. arată că matricea Aobratima și pentru a găsi inversa ei
(Metoda de atașare Matrix).
Calculăm determinant DETA = 64 + 25 - 70-24 = -5 0.T.k. determinant este diferit de zero, atunci A are un invers, adică, reversibile.
Exemplul 2. Pentru a rezolva AX ecuația matrice + B = C, unde A =
Compute detC = (-2) (- 4) - (-1) (- 7) = 8 - 7 = 10
DETA = (-2) (- 3) - 15 = 6 - 5 = 10.
Prin urmare, matricea C și A - sunt reversibile. Să ne găsim ecuația de H. matrice