Lăsați setul de numere complexe - produsul cartezian, și o multitudine de matrici cu elemente complexe.
În cazul în care inegalitatea de matrice este valabil pentru toți, atunci matricea se numește definită pozitiv. În cazul în care condiția pentru toate non-zero, atunci matricea se numește definită strict pozitivă.
Dacă matricea este pozitiv, atunci spunem că.
Dacă toate egalitatea, atunci matricea se numește Hermitian sau autoadjunct.
Iată câteva fapte despre matricea pozitiv definită.
Propoziția 1. Matricea este pozitivă dacă și numai dacă este Hermitian și valorile proprii săi sunt toate nenegativ. Matricea este strict pozitiv, dacă și numai dacă este Hermitian și valorile proprii săi sunt toate pozitive.
Propoziția 2. Matricea este pozitivă dacă și numai dacă este hermitian și principalii săi minori sunt non-negativ. Matricea este strict pozitiv, dacă și numai dacă este hermitian și principalii săi minori sunt toate pozitive.
Propoziția 3. Matricea este pozitivă dacă și numai dacă există o matrice astfel încât. Matricea este strict pozitiv, dacă și numai dacă matricea nu este singular.
Propoziția 4. Matricea este pozitivă dacă și numai dacă există o matrice pozitivă astfel încât. Matricea este strict pozitiv, dacă și numai dacă matricea este strict pozitiv.
Rețineți că în propoziția 4, matricea este singura și se numește rădăcina pătrată a matricei și este notat cu.
Să E. Un spațiu Euclidian spațiu, t. Liniar cu un produs interior.
Teorema 1. Matricea este pozitivă dacă și numai dacă există elemente astfel încât,
.
Matricea este strict pozitiv, dacă și numai dacă elementele sunt liniar independente.
Luați în considerare exemplul din Teorema 1.
Exemplul 1. Să presupunem că numere reale pozitive care fixe. Definim dimensiunea elementelor matricei
.
Această matrice se numește matrice Cauchy. apoi, relația
.
În cazul în care, apoi, și pentru tot ce avem egalitatea în cazul în care egalitatea de elemente
.
Teorema 1, matricea este pozitiv.
Dacă matricea Hermitian pozitiv, de asemenea, matrice Hermitian pozitiv. Produs de matrice este Hermitian dacă și numai dacă matricea și comutative.
O matrice se numește matrice de produse simetrice. În cazul în care matricile și Hermitian, este de asemenea Hermitian. În general vorbind, de pozitivitatea matricei și nu implică întotdeauna o matrice pozitiv.
Exemplul 2. Pentru a determina orice matrice Hermitian
, .
Este evident că, dacă matricea este pozitiv definită. Pentru fiecare element avem egalitatea
.
Notăm prin argumentul unui număr complex. Apoi, avem egalitatea. Prin urmare, forma pătratică este scris ca. Astfel, atunci când matricea este pozitiv definită. Prin definiție, avem egalitatea
,
în consecință, pentru fiecare element avem ecuația
.
În acest caz, dacă este aproape de zero, și aproape de 1, matricea nu este pozitiv. De exemplu, pentru o ecuație elementului deține. Dacă ai pus, și apoi.
Să Hermitian și strict pozitiv. În cazul în care produsul este un rezultat pozitiv simetrică (strict pozitiv), atunci matricea este de asemenea pozitiv (strict pozitiv).
Termeni de bază (generate automat). egalitate, matrice Hermitian matrice Hermitian pozitiv matrici definite de matrice pozitiv, matrice Hermitian pozitivă, o multitudine de matrici, minori principali, produs matrice simetrică, matrice rădăcină pătrată, valori proprii, minori principali sunt matrice comutativ pozitive, matricea pozitivitate reală pozitivă numărul, principalii minori sunt non-negativ, matrice pozitiv, produs de matrici ale căror valori proprii sunt valori proprii non-negative sunt pozitive.