-
introducere
- 1 Istoricul
- 2 Definiții
- 2.1 secțiunilor conice
- 2.2 Ca locus
- 2.2.1 Prin trucuri
- 2.2.2 Un directricea și să se concentreze
- 3 Determinarea Related
- 3.1 Relații
- 4 ecuații
- 4.1 coordonate carteziene
- 4.2 Coordonate polare
- 5 proprietăți
- 5.1 Asymptote
- 5.2 Diametrul
- 6 tangente și normalele
- 7 și raza de curbură curbura hiperbola. înfășurătoare
- 8 Tipuri de hiperbolă
- 8.1 hiperbolă asociată cu un triunghi
- 9 coordonate Literatura Sisteme
Hiperbola și trucurile
Hiperbolă (ὑπερβολή greacă veche din βαλειν antice grecești -... «arunca», ὑπερ - «super") - locul geometric al punctelor M euclidiană plane, pentru care valoarea absolută a diferenței dintre distanțele de la M la două puncte selectate F1 și F2 (numită focii) este constantă. Mai precis,
Împreună cu elipsa și parabolei, hiperbola este o secțiune conică și Quadric. Hiperbola poate fi definită ca o secțiune conică, cu o excentricitate de mai mare decât unitatea.
1. Istoricul
Termenul „hiperbolă“ (ὑπερβολή greacă -. Excesul) a fost introdusă prin Apollonius din Perga (circa 262 î.en -...... Ca. 190 ien), deoarece problema construirii punctului de hiperbole se reduce la problema aplicării cu un exces .
2. Definiții
Hiperbola poate fi determinat în mai multe moduri.
2.1. conic
Trei secțiune conică principală
Hiperbola poate fi definit ca setul de puncte care se formează ca rezultat al circulară planul de secțiune conică intercepteze pe ambele părți ale conului. Alte rezultate sunt plane în secțiune a parabolei con, elipsă, și cazuri degenerați, cum ar fi liniile încrucișate și punctul de potrivire și care apare în momentul planul de tăiere trece prin vârful conului. În special, liniile încrucișate pot fi considerate ca fiind o hiperbolă degenerată, care coincide cu asymptotes sale.
2.2. Ca locus
2.2.1. prin Focarele
Hiperbola poate fi definită ca locul geometric al punctelor a căror diferență de până la două puncte specificate numite focarele distanță, este identic și egal cu 2a.
2.2.2. Prin directricea și să se concentreze
Locul geometric al punctelor pentru care raportul dintre distanța până la focalizarea și la linia de date, numit directricea în mod constant mai mare decât unitatea, se numește o hiperbolă. Dată fiind ε constantă se numește excentricitatea hiperbola.
3. Determinarea înrudite
Asimptotă de hiperbolă (curbe roșii) prezentate în linii punctate albastre se intersectează în centrul hiperbola, C. Două focus hiperbolă desemnate ca F1 și F2. Liniile directoare desemnate hiperbolă grosime dublă și sunt desemnate D1 și D2. Gruparea e excentricitatea este egal cu raportul distanțelor asupra punctului hiperbolă P la focalizarea și la directricea corespunzătoare (prezentată în verde). Hiperbolă vârf desemnat ca ± o.
- Hiperbola este format din două curbe distincte sunt numite ramuri.
- Următoarea unul de altul în ceea ce privește cele două ramuri ale hiperbola sunt numite noduri.
- Cea mai scurtă distanță dintre cele două ramuri ale hiperbolă se numește axa majoră a hiperbola.
- Axa Mid-mare se numește centrul hiperbola.
- O distanță de un centru de hiperbola unuia dintre vârfurile se numește axa majoră a hiperbola.
- Distanța de la centrul hiperbola la unul din focarele este numit rasstoyaniems focale.
- Ambele se concentrează hiperbola se află pe extinderea axei majore la aceeași distanță de centrul hiperbola. care cuprinde o mai mare axă directă hiperbolă este numit real sau axa transversală a hiperbola.
- O linie dreaptă perpendicular pe axa reală și care trece prin centrul său se numește axa imaginară sau hiperbola conjugat.
- Intervalul dintre focalizarea și hiperbola hiperbola perpendicular pe axa reală, numită parametrul focal.
- Distanța de la focalizarea la asimptota a hiperbola se numește un parametru de impact. (Numeric egal cu parametrul de impact b.)
- Problemele asociate cu mișcarea organelor de peste traiectoriile distanță hiperbolic de focalizarea la cel mai apropiat vârf al hiperbola numit distanța pericentric.
3.1. raport
4. ecuații
4.1. coordonate carteziene
Hiperbola dată de ecuația de gradul al doilea în coordonate carteziene (x y.) Pe plan:
,
Mutarea centrului hiperbola la originea și rotirea acestuia în jurul centrului la o ecuație hiperbolă unghi Φ poate fi redus la forma canonică
,
în care o mare și o mică semiaxa b.
4.2. coordonate polare
În cazul în care pol se află în centrul de hiperbola, hiperbole și vârful se află pe extinderea axei polare,
Dacă polul este în punctul central al hiperbola, iar axa polară este paralelă cu una dintre asymptotes,
5. proprietăţi
- proprietate optică. Lumina de la o sursă situată la un focar de hiperbolă, al doilea aspect al hiperbolă este reflectată, astfel încât razele reflectate se intersectează în continuare la a doua focalizare.
- Pentru fiecare punct raportul distanțelor situate pe hiperbola din acest punct să se concentreze la distanța de la același punct la directricea este constantă.
- Hiperbola are simetrie în oglindă în raport cu axele reale și imaginare și simetrie de rotație atunci când este rotit cu un unghi de 180 ° în jurul centrului hiperbola.
- Fiecare conjugat este o hiperbolă hiperbolă. pentru care axele reale și imaginare sunt inversate, dar asimptota rămân aceleași. Aceasta corespunde înlocuirii a și b unul la celălalt, în formula care descrie hiperbola. Cuplarea hiperbolă nu este rezultatul unghiului de rotație inițială a hiperbola la 90 °; ambele hiperbolă formă diferită.
Forma de hiperbole complet determinat de ekstsentrisitetomε sa. care, pentru hiperbola este întotdeauna mai mare decât unul. Partei, excentricitatea este raportul dintre distanța focală față de axa semimajore. De asemenea, excentricitate poate fi definit ca raportul distanțelor de la un punct arbitrar al hiperbola la focalizarea la distanța de la acest punct la linia corespunzătoare dreaptă paralelă cu axa imaginară numită directricea. Prin urmare, distanța de la centrul directricea hiperbolă egală cu o / ε. Excentricitatea poate fi exprimată prin valorile unei. b. c și θ după cum urmează:
De exemplu, hiperbola dreptunghiular excentricitate, a cărui (θ = 45 °. A = b) este
În anumite aplicații pentru a descrie o formă de utilizare hiperbole conica constantă k. care este legată de excentricitate, după cum urmează:
Magnitudinea parametrului focal este exprimat în termeni semiaxa majore și minore ca
5.1. asimptotă
Două hiperbolă conjugat (albastru și verde) au asimptote coincidente (roșu). Aceste unități de hiperbolice și isoscel, deoarece a = b = 1.
Hiperbola, în forma sa canonică, dată de o pereche de funcții:
Raportul Corner asimptotă pot fi găsite după cum urmează:
.
Deplasarea axei verticale
.
limitați căutarea pentru același efect. Prin urmare, fiecare având o pereche asymptotes hiperbolă. asymptotes ecuații au forma canonică:
În același mod se poate dovedi că hiperbola conjugat:
Ea are aceeași asimptota.
5.2. diametrele
Diametru hiperbolă, ca orice sectiune conica este o linie dreaptă care trece prin punctele de centru acorduri paralele. Fiecare direcție corespunde unui diametru paralel coardele conjugat. Toate diametrele hiperbolă trece prin centrul său. Diametrul corespunzător acorduri paralele cu axa imaginară este o axă reală; diametru corespunzător coardele paralele cu axa reală este axa imaginară.
Panta coardele paralele și coeficientul raport cu diametrul corespunzător colț asociat
Dacă diametrul bisects o coardă paralelă cu diametrul b. b diametrul bisects paralel coardă diametrului a. Aceste diametre sunt numite mutual conjugate. Principalele diametre sunt numite diametre cuplate reciproc și reciproc perpendiculare. Noi hiperbolă există doar o pereche de diametre mari - real și axa imaginară.
6. tangente și normalele
Deoarece hiperbola este o curbă lină la fiecare dintre punctele sale (x0. Y0) poate fi realizată tangentă și normală. Ecuația tangentei la hiperbola dat ecuația canonică are forma:
,
sau ceea ce este același lucru,
.
Derivarea ecuației tangentei
Ecuația liniei tangente unui plan arbitrar are forma
Ecuația canonica a hiperbola poate fi reprezentat ca o pereche de funcții
.
Apoi, derivatul acestei funcții are forma
.
Substituind această ecuație în ecuația generală a tangentei, obținem
Ecuația normală la hiperbola este:
.
Derivarea normale
Ecuația unei linii normale plan arbitrar are forma
.
Ecuația canonica a hiperbola poate fi reprezentat ca o pereche de funcții
.
Apoi, derivatul acestei funcții are forma
.
Substituind această ecuație în ecuația generală a normalului, obținem
.
7. Curbura și raza de curbură a hiperbola. înfășurătoare
Albastru arată hiperbolă. Verde - înfășurătoare de ramura dreapta a hiperbola (. Înfășurătoare din ramura stângă a figurii este prezentată în cerc roșu, curbura hiperbola în partea de sus ei.)
(. X y) curbura hiperbola în fiecare dintre punctele sale este determinat din expresia:
.
Prin urmare, raza de curbură este:
.
Deci, pentru punctul cu coordonatele (a. 0) este egală cu raza de curbură
.
Derivarea cu formula pentru raza de curbură
Formula pentru raza de curbură a liniei de plat, o parameticheski predeterminată are forma:
.
Noi folosim reprezentarea parametrica a hiperbola:
Apoi, primul derivat al lui x și y în ceea ce privește t este dată de
,
iar al doilea derivat -
Înlocuind aceste valori în formula curburii obține
.
Coordonatele centrele de curbură sunt definite o pereche de ecuații:
Substituind în ultimul set de ecuații pentru x și y valorile reprezentarea parametrica a hiperbola, obținem un cuplu de ecuații care definesc o nouă curbă constând din centrele de curbură a hiperbolă. Această curbă se numește înfășurătoare de hiperbolă.
8. Tipuri de hiperbolă
Un hiperbolă, care are a = b. numit isoscel. hiperbolă dreptunghiular într-un sistem de coordonate rectangular este descris de ecuația
în care focarele hiperbola sunt situate la punctele (a, a) și (-a, -a).
8.1. Hiperbola asociată cu un triunghi
- hiperbolă Enzhabeka - curba conjuga isogonally linie Euler;
- Kipert hiperbolă - curba conjugat isogonally directă OK, unde K - punctul Lemoine și O - centrul cercului triunghiului descris.
Sistemul de coordonate eliptic
9. Sisteme de coordonate
Familia confocal (confocal), împreună cu familia hiperbolice elipse confocal formează un sistem cu două coordonate eliptice. Aceste hiperbolă dată de ecuația
.
Există focare se află la o distanță c de la origine, θ - unghiul dintre axa reală a hiperbola și asimptota. Fiecare hiperbolă în familie este perpendiculară pe fiecare elipsă având aceleași trucuri. Ortogonalitate poate fi demonstrată prin transformarea conformal cartezian sistemului de coordonate w = z + 1 / z. în cazul în care sistemul, și w = u + iv ea după transformarea de coordonate z = x + cartezian inițială iy.
Alte bidimensional sistem de coordonate ortogonale construite folosind hiperbolice pot fi preparate utilizând alte transformări CONFORMAL. De exemplu, conversia w = z ² afișează coordonatele carteziene în două familii ortogonale ale hiperbolice.