Scopul lucrării desigur
Pentru a investiga și de a studia proprietățile geometrice ale doua curbă de ordin (elipsă, hiperbolă, și parabolică), care reprezintă o linie de intersecție a conului circular cu avioane fără a trece prin vârful său, precum și să învețe cum să construiască date grafice în curbe canonice și coordonate carteziene sisteme.
Având în vedere ecuația celei de a doua curbă ordine:
Sarcină. Pentru o anumită ecuație a doua curbă comandă cu opțiunea:
I. Se determină dependența tipului parametrului curbei folosind invarianți.
II. Adu ecuația curbei la o formă canonică atunci când se utilizează transfer paralel și conversia rotirea axelor de coordonate.
III. Găsiți focarele, directrices, excentricitatea și asymptotes (dacă există) ale curbei de ordinul doi.
IV. Obține ecuația axe canonice în sistemul global de coordonate.
V. Se trasează curba în canonică și coordonatei de ansamblu de sisteme.
Sistemul de coordonate canonic Pregătirea. Trasarea
I. Curba pătratic în funcție de tipul parametrului
In carteziene sistemului celei de a doua curbă comandă este dată de forma generală de coordonate:
dacă cel puțin unul dintre coeficienții este diferit de zero.
Pentru o ecuație a doua curbă de ordin (1) avem:
Acum definim acest tip de curbă (1) cu invarianți. Curba de invarianți de ordinul doi calculat prin formulele:
acestea sunt egale cu curba dată:
1). Dacă ecuația curbei (1) definește o curbă parabolică, dar. Astfel, în cazul în ecuația (1) definește o curbă parabolică. În același timp, adică: dacă ecuația (1) definește o parabolă.
2). În cazul în care, această curbă - Central. Prin urmare, atunci când această curbă - central.
Dacă ecuația (1) definește curba eliptica. Prin urmare, în cazul în care, această curbă este o curbă de tip eliptic. Dar, în același timp. În conformitate cu caracteristicile curbelor de ordinul doi obținem dacă ecuația (1) definește o elipsă.
Dacă ecuația (1) definește o curbă hiperbolică. Prin urmare, în cazul în ecuația (1) definește o curbă hiperbolică.
a) Dacă, atunci ecuația (1) definește cele două linii care se intersectează. obținem:
Prin urmare, în cazul în ecuația (1) definește cele două linii care se intersectează.
b) În cazul în care, atunci curba dată - hiperbolă. Dar, toate, cu excepția punctului. Prin urmare, în cazul în ecuația (1) definește o hiperbolă.
Folosind aceste rezultate, vom construi tabelul de mai jos:
Înțeles parametraβ
II. Tranziția de la ecuația generală a curbei la un canonic
Să considerăm acum cazul, și să investigheze ecuația curbei de comandă cu ajutorul a doua invarianți. Din tabelul de mai sus observăm că pentru ecuația (1) definește o hiperbolă și ia forma:
Aici ecuația curbei (2.1) la forma canonică folosind conversia paralelă translație și rotație a axelor de coordonate.
Am constatat că această curbă - centrală, astfel încât vom folosi procedura de mai sus la forma canonică pentru ecuația de centrul curbei. Efectuăm o translație paralelă a originii la un punct. Coordonatele unui punct arbitrar în planul de coordonate de sistem și coordonatele unui nou sistem de coordonate sunt legate de
Substituind aceste expresii în ecuația (2.1), obținem:
Parantezele și termeni similari, obținem:
În ecuația (2.3) coeficienții echivalează zero. Obținem sistemul de ecuații
Scapati sistemul (2.4), obținem:
Curba centru are coordonatele. Am pus valorile gasite în ecuația (2.3). În noul sistem de coordonate în ecuația (2.3) rapoarte la zero și ecuația ia forma
De atunci, o simplificare suplimentară a ecuației (2.5) obținem prin rotirea axelor de coordonate printr-un anumit unghi. La rotirea axelor de coordonate printr-un unghi de coordonatele unui punct arbitrar în planul sistemului și coordonatele unui nou sistem de coordonate sunt legate de coordonate
Substitutiv (2.6) în ecuația (2.5), obținem
Să ne deschidem parantezele și termeni similari
termeni similari, obținem ecuația
Acum vom alege un unghi care în ecuația (2.7), coeficientul de produs este zero. Noi obținem ecuația pentru sinusul și cosinusul unghiului:
Împărțim partea dreaptă și stângă a acestui termen ecuație de termen pe. Putem face acest lucru, pentru că, pentru că, în cazul în care (este), apoi prin substituirea în ecuația (2.8), constatăm că, spre deosebire de identitățile trigonometrice de bază. obținem ecuația
Rezolvarea ecuației (2.9), obținem
Cunoscând valoarea tangentei, putem calcula valorile sinus și cosinus folosind următoarele formule :. Substituind valorile corespunzătoare ale tangenta, obținem:
Să luăm, de certitudine. Apoi, valorile sinus și cosinus corespunzătoare au
Substituind (2.10) în ecuația (2.7), obținem: