numita dimensiune matrice.
Se numește o matrice pătrată de ordinul n, în cazul în care numărul egal cu numărul de rânduri și de coloane este egal cu n:
Un set ordonat de elemente a11, a22, ..., ann numit, la rândul său, A1N, a2, 1-n, ..., diagonalei principale, an1 - matricea secundară diagonală. O matrice pătrată ale cărei elemente satisfac condiția:
numita diagonală, și anume, matrice diagonală de forma:
matrice diagonală de ordinul n este numit identitatea, dacă toate elementele sale principale diagonale sunt egale cu 1. orice matrice mărime se numește zero sau zero, matrice, dacă elementele sunt egale cu zero. Matricea de identitate este notată cu litera E, zero - matricile O. sunt de forma:
operații liniare de pe matrici
Definiția. matrice Suma A = (Aij) și B = (bij) de dimensiuni egale
este matricea C = (Sij) de aceleași dimensiuni, astfel încât cij = aij + bij pentru toți i și j.
.
Astfel, pentru a stabili matrici A și B, este necesar să se stabilească elementele lor în picioare pe același teren. De exemplu,
Definiția. Produsul din numărul matricei A este o matrice LA l = (l Aij) obținute prin înmulțirea tuturor elementelor matricei A de numărul l.
Diferența dintre matrici A și B poate fi determinată de ecuația A = A + (- 1).
Operațiile de mai sus sunt numite liniare.
Notă unele operații proprietăți.
Fie A, B, C - aceeași dimensiune a matricei; a, b - numere reale.
A + B = B + A - comutativitate.
(A + B) + C = A + (B + C) - plus asociativitatea.
Despre matrice constând din zerouri, joacă rolul de la zero: A + O = A.
Pentru orice Matica opusă -A A există, care elemente sunt diferite de semnul elementelor A, în care A + (-A) = O.
a (BA) = (ab) A = (aA) b. 6. (a + b) = A + aA Ba.
7. A (A + B) = aA + AB. 8. 1 * A = A 0 * 9. A = 0.
În algebra matrice joacă un rol de multiplicare matrice importantă, este o operație foarte ciudat.
Definiția. Produsul a matricei A = mărimea (Aij)
și o matrice B = dreptunghiular (bij) dimensiunea
numita dreptunghiular matrice C = (Sij) dimensiunea
, astfel încât cij = AI1 + b1j + AI2 + b2j + ... + aik + bkj;
.
.
Astfel, elementul de matrice produsului A și B, în picioare în rândul i-lea și coloana j-a este egală cu suma produselor elementelor i-lea rând al primei matrice de elementele corespunzătoare O coloană j-a, în a doua matrice, adică
.
Produs C = AB este determinat dacă numărul de coloane ale matricei A este egal cu numărul de rânduri ale matricei B. Această condiție, precum și dimensiunile matricelor pot fi reprezentate prin schema:
Este evident că pătrat operațiunea matrice de multiplicare este întotdeauna determinată.
Exemple. Găsim produsul matricelor AB și BA, în cazul în care acestea există.
,
.
,
.
Astfel, legea comutativ (comutativ) multiplicării matrici, în general, nu este îndeplinită, adică
În cazul particular al unui produs drept comutativ are fie o matrice pătrată A n-a unitate de comandă matricea E pe aceeași ordine, adică,
,
.
Pentru aceste matrici ca un produs al AB și BA nu există.
,
, VA - nu există.
Proprietățile matrice de multiplicare.
Fie A, B, C - o matrice de dimensiune corespunzătoare (adică produsul matricelor definite), l - număr real. Apoi, pe baza definițiilor operațiunilor și proprietățile numerelor reale au următoarele proprietăți:
(AB) C = A (BC) - asociativitatea.
(A + B) C + BC = AC - distributivitatea.
A (B + C) = AB + AC - distributivitatii.
EA = AE = A pentru matrici pătrate ale matricei identității E joacă rolul unității.
Aici este un exemplu de un singur proprietăți dovada. Noi pretindem de exemplu, proprietatea 3.
Să presupunem că A = (Aij), B = (bij), C = (cij) produs matrice identificat. Am găsit un element i-lea rând și coloana j-a matricei A (B + C). Acesta va fi un număr
Prima sumă în partea dreaptă este elementul rândului i-lea și coloana j-a matricei AB, iar al doilea element este egal cu suma rândului i-lea și coloana j-a matricei AS. Raționamentul este valabil pentru orice i și j, proprietatea 3 este demonstrată.
Exercitarea 1. Verificați proprietatea asociativă a matricei 1:
,
,
.
Exercitarea 2. Verificați proprietatea distributiv la 2 matrici:
,
,
.
Exercitiul 3. Găsiți matricea A 3. dacă
.
matrice degenerate și nedegenerata
Definiția. Matricea se numește degenerată dacă determinantul său este zero, și un non-degenerat, dacă determinantul matricei este diferit de zero.
,
0; A - matrice nesingular.
,
= 12-12 = 0; A - matricea degenerate.
Teorema. Produsul matricelor este matrice singular dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factorii este o matrice degenerată.
Necesitate. Să AB - matrice singulară, adică,
= 0. Apoi, datorită faptului că determinantul unui produs de matrici este produsul a factorilor determinanți ai matricelor multiplicate pe care le avem
Aceasta înseamnă că cel puțin una din matrici A și B este un degenerat.
Suficiență. Lăsați produsul matrice AB A degenerate, adică
= 0; AB - matrice singular.
Notă. Teorema de mai sus este valabilă pentru orice număr de factori.
Definiția. In matricea pătrată se numește inversa matricei A este de aceeași mărime, dacă
,
.
inversa matricea A. - B
Teorema. Dacă există invers, se determină în mod unic pentru o matrice dată.
Să presupunem că matricea A există matrici X și Y, astfel încât
Înmulțind una dintre ecuațiile, de exemplu, AH = E lăsat pe Y, obținem V (Ax) = YE. În virtutea asociativitatea de multiplicare, avem (UA) X = CU. Deoarece V = E, EX = UE, adică X = Y. Teorema.
Teorema (condiție necesară și suficientă pentru existența matricei inverse).
Inversa matricea A -1 există dacă și numai dacă matricea originală A este nesingular.
Necesitate. Să presupunem că există o invers A -1 al matricei A. și anume A
A = E. Apoi, ½A
A -1 ½ = ½A½
-1 ½ = ½A ½E½ = 1, adică ½A½
0 și -1 ½ ½A
0; A - nedegenerata.
Suficiență. Să presupunem că o matrice non-singular de ordinul n
,
astfel încât determinantul său
0. Considerăm matricea constând din cofactori a elementelor matricei A:
,
se numește Adjoint matricei A.
Trebuie remarcat faptul că cofactori a elementelor șirului i din A sunt în coloana i-lea al matricei A *. pentru
.
Găsim produsul matricelor A și AA * AA * AA * notăm cu C, atunci, prin definiție, produsul matricelor au: Sij = AI1 A 1j + AI2 A 2j + ... + AIN Anj; i = 1, n: j = 1, n.
Când i = j obține o sumă de produse de elemente i - lea rând în cofactori din același rând, o astfel de cantitate egală cu valoarea determinantului. Astfel, Sij = | A | = D - elementele principale matricei diagonale S. Când i
j, adică Sij pentru elementele din afara diagonalei principale a matricei C, avem suma produselor tuturor elementelor unui rând de către cofactori ai unui alt rând, această sumă este egală cu zero. Astfel,
In mod similar, se dovedește că produsul A de către A * este egală cu aceeași matrice C. Astfel, avem A = A * AA * = S. Rezultă că
De aceea, dacă matricea inversă ia
Deci, matricea inversă există și are forma:
Exemplu. Găsim inversa matricei la acest lucru:
Găsiți D = | A | = -1 ¹ 0, A
acolo. În continuare vom găsi cofactori elemente ale matricei A:
=
=
=