Matricea algebra Concepte
Definiția. Un tabel dreptunghiular de m linii și n coloane, umplute cu unele obiecte matematice numit - matrice.
Vom lua în considerare matricea numerică. Numerele care alcătuiesc matricea sunt numite elementele sale. A se referi la matrice, de regulă, utilizați paranteze. La înregistrarea, în forma generală a elementelor de matrice sunt desemnate prin aceeași literă cu doi indici, dintre care prima indică numărul rândului, iar al doilea - indicele coloanei matricei. De exemplu, matricea
Stenografiate: A = (Aij); în cazul în care Aij - numere reale, i = 1,2, ... m;
j = 1,2, ..., n (pe scurt ..). Lucrarea se numește mărimea matricei.
Se numește o matrice pătrată de ordinul n, în cazul în care numărul egal cu numărul de rânduri și de coloane este egal cu n:
Un set ordonat de elemente a11, a22, ..., ann numit, la rândul său, A1N, a2, 1-n, ..., diagonalei principale, an1 - matricea secundară diagonală. O matrice pătrată ale cărei elemente satisfac condiția:
numita diagonală, și anume, matrice diagonală de forma:
matrice diagonală de ordinul n este numit identitatea, dacă toate elementele sale principale diagonale sunt egale cu 1. orice matrice mărime se numește zero sau zero, matrice, dacă elementele sunt egale cu zero. Matricea de identitate este notată cu litera E, zero - matricile O. sunt de forma:
operații liniare de pe matrici
Definiția. Matricea Suma A = (Aij) și B = (bij) de dimensiuni egale este matricea C = (Sij) de aceleași dimensiuni, astfel încât cij = aij + bij pentru toți i și j.
Astfel, pentru a stabili matrici A și B, este necesar să se stabilească elementele lor în picioare pe același teren. De exemplu,
Definiția. Produsul din numărul matricei A este o matrice A = (Aij) obținută prin multiplicarea tuturor elementelor matricei A în număr.
De exemplu, dacă n = 5, atunci
Diferența dintre matrici A și B poate fi determinată de ecuația A = A + (- 1).
Operațiile de mai sus sunt numite liniare.
Notă unele operații proprietăți.
Fie A, B, C - aceeași matrice dimensiune;. - numere reale.
A + B = B + A - comutativitate.
(A + B) + C = A + (B + C) - plus asociativitatea.
Despre matrice constând din zerouri, joacă rolul de la zero: A + O = A.
Pentru orice Matica opusă -A A există, care elemente sunt diferite de semnul elementelor A, în care A + (-A) = O.
7. (A + B) = A + B. 8. 1 * A = A 0 * 9. A = 0.
În algebra matrice joacă un rol de multiplicare matrice importantă, este o operație foarte ciudat.
Definiția. Produsul a matricei A = (Aij) și mărimea unui dreptunghiular matrice B = (bij) matrice dreptunghiulară de dimensiuni se numește C = (Sij) dimensionat astfel încât cij = AI1 + b1j + AI2 + b2j + ... + aik + bkj; . .
Astfel, elementul de matrice produsului A și B, în picioare în rândul i-lea și coloana j-a este egală cu suma produselor elementelor i-lea rând al primei matrice de elementele corespunzătoare O coloană j-a, în a doua matrice, adică
Produs C = AB este determinat dacă numărul de coloane ale matricei A este egal cu numărul de rânduri ale matricei B. Această condiție, precum și dimensiunile matricelor pot fi reprezentate prin schema:
Este evident că pătrat operațiunea matrice de multiplicare este întotdeauna determinată.
Exemple. Găsim produsul matricelor AB și BA, în cazul în care acestea există.
Astfel, legea comutativ (comutativ) multiplicării matrici, în general, nu este îndeplinită, adică În cazul particular al unui produs drept comutativ are fie o matrice pătrată A n-a unitate de comandă matricea E pe aceeași ordine, adică,
Pentru aceste matrici ca un produs al AB și BA nu există.
Obținerea, VA - nu a existat.
Proprietățile matrice de multiplicare.
Fie A, B, C - o matrice de dimensiune corespunzătoare (adică produsul matricelor definite); - număr real. Apoi, pe baza definițiilor operațiunilor și proprietățile numerelor reale au următoarele proprietăți:
(AB) C = A (BC) - asociativitatea.
(A + B) C + BC = AC - distributivitatea.
A (B + C) = AB + AC - distributivitatii.
EA = AE = A pentru matrici pătrate ale matricei identității E joacă rolul unității.
Aici este un exemplu de un singur proprietăți dovada. Noi pretindem de exemplu, proprietatea 3.
Să presupunem că A = (Aij), B = (bij), C = (cij) produs matrice identificat. Am găsit un element i-lea rând și coloana j-a matricei A (B + C). Acesta va fi un număr
Prima sumă în partea dreaptă este elementul rândului i-lea și coloana j-a matricei AB, iar al doilea element este egal cu suma rândului i-lea și coloana j-a matricei AS. Raționamentul este valabil pentru orice i și j, proprietatea 3 este demonstrată.
Exercitarea 1. Verificați proprietatea asociativă a matricei 1:
Exercitarea 2. Verificați proprietatea distributiv la 2 matrici:
Exercitiul 3. Găsiți matricea A 3 dacă.
matrice degenerate și nedegenerata
Definiția. Matricea se numește degenerată dacă determinantul său este zero, și un non-degenerat, dacă determinantul matricei este diferit de zero.
Exemplu. = 16-15 = 1 0; A - matrice nesingular.
, = 12-12 = 0; A - matricea degenerate.
Teorema. Produsul matricelor este matrice singular dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factorii este o matrice degenerată.
Necesitate. Să AB - matrice singulară, adică, = 0. Apoi, datorită faptului că determinantul unui produs de matrici este produsul determinanților matricelor multiplicate, avem Aceasta înseamnă că cel puțin una din matrici A și B este un degenerat.
Suficiență. Lăsați produsul matrice AB A degenerate, adică = 0. Vom găsi, după cum = 0; Deci = 0; AB - matrice singular.
Notă. Teorema de mai sus este valabilă pentru orice număr de factori.
Definiția. In matricea pătrată se numește inversa matricei A este de aceeași mărime, dacă
inversa matricea A. - B
Teorema. Dacă există invers, se determină în mod unic pentru o matrice dată.
Să presupunem că matricea A există matrici X și Y, astfel încât
Înmulțind una dintre ecuațiile, de exemplu, AH = E lăsat pe Y, obținem V (Ax) = YE. În virtutea asociativitatea de multiplicare, avem (UA) X = CU. Deoarece V = E, EX = UE, adică X = Y. Teorema.
Teorema (condiție necesară și suficientă pentru existența matricei inverse).
Inversa matricea A -1 există dacă și numai dacă matricea originală A este nesingular.
Necesitate. Să presupunem că există o invers A -1 al matricei A. și anume A A -1 = A -1 A = E. Apoi, AA -1 = A -1 A = E = 1, adică A 0 și A 0 -1; A - nedegenerata.
Suficiență. Să presupunem că o matrice non-singular de ordinul n
astfel încât determinantul său este 0. Să considerăm matricea constând din cofactori a elementelor matricei A:
se numește Adjoint matricei A.
Trebuie remarcat faptul că cofactori a elementelor șirului i din A sunt în coloana i-lea al matricei A *. pentru.
Când = j obține o sumă de produse de elemente - lea rând în cofactori din același rând, o astfel de sumă egală cu valoarea determinantului. Astfel, Sij = | A | = - este principalele elemente diagonale ale matricei C. La j, adică Sij pentru elementele din afara diagonalei principale a matricei C, avem suma produselor tuturor elementelor unui rând de către cofactori ai unui alt rând, această sumă este egală cu zero. Deci, = AA *
In mod similar, se dovedește că produsul A de către A * este egală cu aceeași matrice C. Astfel, avem A = A * AA * = S. Rezultă că
Prin urmare, în cazul în care matricea inversă lua Deci, matricea inversă există și are forma:
Exemplu. Găsim inversa matricei la acest lucru:
Găsiți = | A | 0 = -1, A există. În continuare vom găsi cofactori elemente ale matricei A:
A = 0; A = -1; A = 3;
A = -3; A = 3; A = -4;
A = 1; A = -1; A = 1;