funcții numerice caracteristice ale unei variabile reale asociate cu proprietățile sale diferențiale.
1) Să presupunem că - funcția unei variabile x reală, definită pe intervalul; variația acesteia este cel puțin limita superioară a sumelor de forma
în cazul în care - puncte arbitrare sistem. Această definiție a invitat Karl Jorda-evaluat [1]. În cazul în care. atunci spunem că o funcție are o variație limitată (finită), la un interval. și clasa tuturor acestor funcții este notat cu sau pur și simplu prin V. Funcția de clasă, dacă și numai dacă poate fi reprezentat sub forma în care - crește (descrește) în funcția (Jordan de descompunere a funcțiilor de variație) mărginite. Suma, diferența și produsul a două funcții este, de asemenea, o funcție a clasei. Acest lucru este valabil și pentru două funcții membre private. dacă numitorul modulului depășește o constantă pozitivă în intervalul. Fiecare clasă este limitată la funcția și nu pot avea mai mult de un set numărabilă de puncte de discontinuitate, toate acestea sunt de primul tip.
Toate aceste proprietăți sunt funcții ale clasei stabilite de Jordan K [1] (a se vedea. De asemenea, [2], p. 234-38).
funcții de clasă sunt derivabile aproape peste tot pe și pentru ei avem descompunerea
în cazul în care - este absolut continuă, - o funcție singular, și - funcția de salt (Lebesgue descompunere fuiktsii variație mărginită). Această descompunere este unică dacă (cm. [3] și [2], p. 290).
Inițial clasa a fost introdus de K. Jordan, în legătură cu generalizarea testului Dirichlet pentru convergenta seriilor Fourier de funcții monotone pe porțiuni. K. Zhor-dan a dovedit că Fourier seria -periodich. Funcții de clasă converg la fiecare punct al axei reale. Mai târziu, cu toate acestea, o funcție de variație mărginite sunt utilizate pe scară largă în diverse domenii ale matematicii, mai ales în teoria integrală Stieltjes.
Clasele sunt văzute uneori. care sunt definite după cum urmează. Să pozitiv pentru o funcție monoton crescătoare. Notăm sumele supremumul formei
în cazul în care - o partiție arbitrară a intervalului. Cantitatea se numește. Variația F-funcții pe un interval. Dacă spunem că funcția F a limitat - variația pe segmentul. o clasă de astfel de funcții sau pur și simplu, notat cu (clasă vezi (4], pagina 287) se obțin C. Jordan, în timp ce -... clase Vp Wiener [5] Determinarea clasa V P [a, b]. L. Jung a propus [6]. Dacă
iar atunci când aceste investiții sunt stricte.
Lit. [1] S. Jordan "S. r. Acad. Sci.", 1881, t. 92, № 5, p. 228-30; [2] Natanson I. P. Teoria funcțiilor unei variabile reale, 2nd ed. M. 1957; [Z] A. Integrarea Lebesgue și funcțiile primitive de căutare (tradus din franceză ..), M. L. 1934; [4] seria Bari N. K. trigonometrice, Moscova, 1961; [5] Wiener N. "Massachusetts J. Math și Phys.", 1924, v. 3, p. 72-94; G6] Young L. S. "C. r. Acad. Sci.", 1937, t. 204, № 7, p. 470 - 72. BI Golubov.
2) o funcție de mai multe variabile, există diferite definiții ale variației (variație Arzela, Vitali variație Pierpont variație Tonelli variație plan Frechet variație Hardp variație). Este dovedit de asemenea definiție roditor următoarea (vezi [1].), Bazată pe utilizarea Banach indicatrix,. Fie funcția valori reale definite și măsurabile în Lebesgue n-dimensional cub. O variantă de ordinul a funcțiilor pe un cub numit. număr
unde denotă variația set jth. iar integrala este înțeleasă în sensul Lebesgue. definition Oto vă permite să se mute la funcții de mai multe variabile, multe proprietăți ale funcțiilor de variație mărginită de o variabilă. Ex.:
b) Dacă o secvență de funcții converge la o bază liniară.
c) În cazul în care funcția este continuă și pe toate variantele sale sunt finite aproape peste tot are o diferență totală.
g) În cazul în care funcția este absolut continuă pe.
e) În cazul în care funcția este continuă pe un cub cu latura. Ea are variație finită a tuturor comenzilor de pe cub și poate fi continuată în mod periodic cu perioada fiecărui argument pentru tot spațiul n-dimensional. apoi seria Fourier converge uniform să-l pe Pringsheim.
condiții suficiente pentru finitudinea variații: dacă funcția este pe derivatele cub continuă a tuturor ordinelor de până la și inclusiv mii, kkonechna de ordine de variație. Această teoremă este definitivă, în sensul că condițiile de pe netezimea nu poate fi îmbunătățită orice Venerabilul unul k.
Lit. [1] Vitushkin A. G. variații multidimensionali, M. 1955 A. G. Vitushkin.
Enciclopedia de Matematică. - M. sovietic Enciclopedia. I. M. Vinogradov. 1977-1985.