se poate concluziona că seria (8) converge prea. Comparația este o metodă de bază care permite o convergență a multor serii, comparându-le cu cele mai simple serii convergente. Uneori, folosesc o convergență specială de semne (acestea pot fi găsite în literatura de specialitate privind teoria seriilor.) Iată câteva exemple de serii convergente cu termeni pozitivi:
O comparație poate fi folosită pentru a stabili o serie de divergențe. În cazul în care seria este divergenta, atunci seria este divergenta daca 0 £ miliarde £ o.
Exemple de serii divergente pot servi ca rândurile
și, în special, ca seria armonică
Divergența acestei serii pot fi văzute prin numărarea următoarelor sume parțiale:
etc. Astfel, sumele parțiale, care membru 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, ¼ capăt. depășesc sumele parțiale ale serii divergente (6) și, prin urmare, numărul (14) ar trebui să se abată.
convergență absolută și condiționată.
Astfel ca serie
Metoda de comparație nu este aplicabilă, deoarece membrii acestei serii au semne diferite. Dacă toate condițiile (15) au fost pozitive, am primit un număr de (3), care este cunoscut că converge. Se poate demonstra că acest lucru implică convergența seriei (15). Atunci când o modificare a condițiilor negative ale unui număr de mărci pe partea opusă poate fi transformată într-o convergentă, spune că seria originală converge absolut.
Alternând seria armonică (1) nu este perfect convergentă, deoarece serie (14), formată din aceleași, dar numai termeni pozitivi, nu converg. Cu toate acestea, prin intermediul unor semne speciale de convergență pentru serii alternând poate demonstra că seria (1) converge în realitate. seria convergentă care nu converg absolut, numit convergenta.
rânduri operațiuni.
Pe baza stabilirii seriilor convergente, este ușor de a arăta că convergența acesteia nu este afectată de eliminări sau evocând un număr finit de termeni, precum și prin multiplicarea sau divizarea tuturor termenilor seriei pe unul și același număr (desigur, diviziune de 0 este exclusă). Sub orice permutare a membrilor unei serii absolut convergente converge nu este rupt, iar suma nu se schimbă. De exemplu, ca suma (2) este egal cu 1, suma unui număr de
De asemenea, este egal cu 1, deoarece numărul de rotații ale seriei (2) rearanjarea membrilor adiacente (1 membru st al 2-lea, etc.). Poate schimba arbitrar ordinea termenilor unei serii absolut convergente, în cazul în care numai în noua serie au participat toți membrii originalului. Pe de altă parte, rearanjarea unei serii convergenta se poate schimba cantitatea și face chiar divergente. Mai mult decât atât, membrii unei serii convergenta poate fi întotdeauna rearanjate, astfel încât acesta va converge la orice sumă predeterminată.
Două serii convergente și San SBN termwise se pot adăuga (sau scădea), astfel încât suma noii serii (care converge de asemenea) este format din suma seriei originale, în notație noastră
Dacă condiții suplimentare, de exemplu în cazul în care ambele seturi complet converg, ele pot fi multiplicate cu unul de altul, așa cum se face pentru sume finite obținute cu un rând dublu (cm. Mai jos) va converge la un produs de sume serii inițiale.
Summability.
În ciuda faptului că definiția convergenței unei serii infinite am adoptat pare natural, nu este unic. suma unei serii infinite poate fi determinată în alte moduri. Să considerăm, de exemplu, seria (7), care pot fi scrise ca compact
Așa cum am spus, sumele sale parțiale sunt luați alternativ valorile 1 și 0, și așa mai departe serie nu converg. Dar dacă vom face rândul său, media sumelor Pairwise sale parțiale (media actuală), adică mai întâi calcula valoarea medie a primei și a doua sume parțiale, apoi media celui de al doilea și al treilea, al patrulea și al treilea etc. atunci fiecare astfel de mediu este egal cu 1/2, și, prin urmare, limita mediei pairwise ca să fie egală cu 1/2. În acest caz, se spune că seria rezuma metoda de mai sus și suma este egală cu 1/2. au fost propuse mai multe metode de însumare pentru a permite atribuirea sumei clase destul de largi de serii divergente și de a folosi unele serii divergente în calcule astfel. Pentru cele mai multe scopuri, metoda însumării este utilă, dar numai în cazul în care trimiterea la un număr de convergentă el dă suma finală.
Serii cu termeni complexe.
Până în prezent, ne-am asumat în mod tacit că avem de-a face doar cu numere reale, dar toate definițiile și teoreme se aplică rândurilor cu numere complexe (cu excepția faptului că suma care poate fi obținut prin rearanjarea termenilor de serie convergenta nu poate fi arbitrară valoare).
Seria funcțională.
Așa cum am observat, numărul infinit de membri poate fi nu numai numărul, ci și funcția, de exemplu,
Suma acestui număr este, de asemenea, o funcție a cărei valoare la fiecare punct se obține ca limita este calculată la acest punct al sumelor parțiale. Fig. 1 prezintă grafice ale mai multor sume parțiale și sume (la x care variază de la 0 la 1.); sn (x) înseamnă suma primilor membri n. Suma reprezintă numărul funcției egal cu 1, cu 0 x J <1 и 0 при x = 1. Функциональный ряд может сходиться при одних значениях x и расходиться при других; в рассмотренном нами примере ряд сходится при –1Ј x <1 и расходится при других значения x .
Cantitatea de serie funcțională poate fi înțeleasă în moduri diferite. În unele cazuri, este important să se știe că sumele parțiale sunt apropiate (într-un anumit sens), la o funcție pe întregul interval (a. B), dovedim convergența sau divergența unui număr de puncte distincte. De exemplu, ceea ce denotă o sumă parțială de ordinul n-lea de sn (x), spunem că seria converge în medie pătratică a sumei s (x), în cazul în care
Seria poate converg în medie pătrat, chiar dacă nu converg la un singur punct. Există, de asemenea, alte definiții ale convergenței seriilor funcționale.
Unele serii de funcții sunt numite de funcțiile pe care le sunt incluse. Ca un exemplu, seria de putere și sumele acestora: