4.4. Gauss-Jordan Metoda
Metoda Gauss-Jordan se bazează pe transformări elementare (3.2) ale liniilor matricei extinse
Ca rezultat, fiecare din matricea transformărilor elementare augmented se modifică, dar sistemul de ecuații liniare corespunzătoare matricile obținute, echivalent cu setul original de ecuații liniare.
Având în vedere un sistem de m ecuații liniare în n necunoscute. Aplicarea transformărilor elementare, vom construi un sistem echivalent de un tip special. Pentru aceasta, vom alege ca primul din ecuațiile sistemului de ecuații, în care coeficientul de x1 este nenul. Fără a pierde din generalitate, să presupunem că. Apoi, prima ecuație este ecuația
Înmulțim prima ecuație de. Apoi, înmulțiți această ecuație pe aceeași. termwise și adăugați-l la ecuațiile cu indicii i = 2,3, ..., m. După aceasta, ecuații de conversie cu indicii i> 1 vor fi omise x1 necunoscute. Primul pas al metodei Gauss-Jordan este terminat.
Se poate întâmpla ca, în prima etapă, împreună cu x1 necunoscute vor fi excluse necunoscute. dar există cel puțin o ecuație, care rămân necunoscute. Una dintre aceste ecuații iau ca al doilea sistem de ecuații. În acest caz, matricea extinsă. care corespunde sistemului obținut are forma:
Noi folosim a doua ecuație pentru a elimina necunoscutul toate ecuațiile, cu excepția a doua. După a doua etapă a metodei Gauss-Jordan matrice expandat să obțină
Continuarea procesului, după etapele r obținem o matrice. r care conține o singură coloană în locul primele n coloane ale matricei A (r - rangului matricei A a sistemului).
În acest caz, există trei posibilități:
1. În cazul în care. matricea este transformată în matricea
Sistemul are o soluție unică :.
Un sistem de ecuații liniare (4.4.6) corespunde matricei extinse. Aplicarea algoritmului matrice metoda Gauss-Jordan, obținem matricea. Vom arăta că. matrice Expanded corespunde unei ecuații matrice. care are o soluție unică X = B. Matricea obținută din matrice prin Gauss-Jordan. Prin urmare, sistemul de ecuații liniare, matrice și adecvate. echivalent, adică Ei au aceeași soluție. Rezultă că. Prin urmare.
Astfel, pentru o matrice A non-singular pentru a calcula matricea inversă. aveți nevoie pentru a face o matrice. Metoda Gauss-Jordan în matricea de transformare matricea A și matricea de identitate E. minte în timp ce pe baza identității matricei E obținem matricea inversă.
Exemplu. Calculati matricea inversă pentru matricea
Decizie. compoziția matricei
La iterație 1, crede. obținem
La iterație 2, gândire. obținem