Lecția 4: Paritate
Definiția. Chiar și noi îl numim acele numere, care sunt divizate într-un multiplu de 2. Toate celelalte numere le numim ciudat.
sarcini principale
0. Ca un matematician, a comandat un prânz dublu. El nu știa cât de mult este cina. Dar, cu greu se uită la control, a spus casierul: „Ai făcut o greșeală!“ După cum este definit?
Decizie. Lăsați costurile de prânz n ruble normale. Un matematician a ordonat un prânz dublu. Deci, el trebuie să plătească pentru el de două ori, adică, 2 x n ruble. Numărul de 2 × n - chiar și așa cum este divizibil cu 2. Trebuie să fie un matematician pentru a vedea suma de verificare a ciudatul și a dat seama că casierul a făcut o greșeală.
1. a) Anna și Boris a jucat în acest joc. La început, Anna scrie pe tablă număr natural, iar apoi pe aceeași bord scrie numărul de Borja. În cazul în care suma ar fi ciudat, atunci câștiga Anya, și dacă seara - că Boris. Poate unul dintre ei este întotdeauna de a câștiga, indiferent de acțiunile adversarului său? b) Grisha și Dima juca un alt joc. Fiecare dintre ele secrete de cealaltă a scris numărul de pe o foaie de hârtie. Apoi, ele arată fiecare alte forme scrise. În cazul în care produsul lor este impar, atunci câștiga Grisha, iar dacă o chiar - că Dima. Poate unul dintre ei este întotdeauna de a câștiga, indiferent de acțiunile adversarului său?
a) cîștigătoare este Boria. De fapt, dacă Anya scrie ciudat, Bob poate scrie, de asemenea, un număr par, iar suma scrisă în cifre este chiar. Dacă Anya scrie un număr par, Bob poate scrie un număr chiar și suma numerelor va fi re-scrise chiar.
b) câștigătoare Dima poate. Indiferent de Grisha inventat numărul, el poate scrie întotdeauna un număr par. Apoi, produsul numărului de Grisha scrise, precum și un număr scris Dima va fi în mod necesar chiar.
Ultima sumă în tabel este chiar dacă numărul de termeni de chiar și în alt mod ciudat.
În primul rând umple primele două coloane din tabel. Acest lucru nu prezintă dificultăți deosebite. Pentru numerele de la 0 la 9, normele relevante sunt ușor de verificat. Apoi, puteți utiliza caracteristica de divizibilitatea de 2: Numărul este divizibil cu 2, dacă și numai dacă, în cazul în care ultima cifră este divizibil cu 2. Ultima cifră a sumei a două numere este ultima cifră a sumei ultimelor cifre. Același lucru este valabil și pentru produsul (amintiți-vă regulile de adăugare și înmulțirea numerelor într-o coloană!). Prin urmare, este suficient să se verifice regulile de adunare și înmulțire pentru numere care nu depășesc 9.
Dintre regulile enumerate în a doua coloană a tabelului arată că:Acest lucru vă permite să umple primele două celule în ultima coloană a tabelului.
În cele din urmă, completați în ultima celulă a tabelului. cantitatea de picioare acolo depinde de paritatea numărului de termeni. Dacă acest număr este chiar, toți termenii pot fi grupați în perechi: (H + H) + (H + H) +. + (N + H). Conform regulii din prima coloană a tabelului, H + H = Ch De aceea, (H + H) + (H + H) +. + (N + N) = H + H +. + Ch Suma oricărui număr chiar de summands este chiar (aceasta rezultă și din normele înregistrate în prima coloană a tabelului). Prin urmare, (H + H) + (H + H) +. + (N + N) = H + H +. Ch + Ch =
În cazul în care numărul de termeni din suma este impar, atunci când încearcă să le rupă într-o singură pereche ar fi „de prisos“: (H + H) + (H + H) +. + (N + H) + H. Din considerentele de mai sus rezultă că această sumă este egală cu H + H +. + H + H + H = H = H (aici folosim regula din nou din prima coloană a tabelului).
3. Produsul a două numere înmulțit cu suma lor. Ar putea întâmpla ca urmare a numărului 3171?
Notăm numerele noastre a și b. Apoi ne interesează în valoare egală cu un · b · (a + b).
Considerăm două cazuri:
- Fie a și b au aceeași paritate. Apoi, suma lor este chiar. Și, prin urmare, valoarea noastră va fi chiar, din moment ce chiar și (a + b) (a se vedea. Sarcina 2).
- Fie a și b sunt de diferite paritate. Apoi, produsul lor este chiar (deoarece fie. Sau b este adevărat). Deci, valoarea noastră va fi chiar, din moment ce chiar și o · b (a se vedea. Problema 2).
6. Parlamentul este format din două camere de putere egală. La vot au participat toți membrii, nicio abținere. Dupa insumarea, a fost anunțat că decizia luată cu o majoritate de 25 de voturi (adică, una dintre soluțiile au votat pentru 25 de persoane mai mult decât în cealaltă). Liderul opoziției a declarat că a fost o farsă. După cum este definit?
Decizie. Să presupunem că prima decizie a fost dat n voturi, în timp ce pentru a doua decizie a fost dat (n +25) voturi. Prin urmare, toate au fost date n + n + 25 = 2 · n + 25 voci. Dar numărul 2 · n este chiar, iar numărul 25 este impar, astfel încât suma lor este impar. În același timp, ca și în Parlament două camere numeric egale, numărul total de voturi trebuie să fie chiar (este egală cu de două ori numărul de membri ai aceeași casă). Această contradicție și a atras atenția asupra liderului opoziției.
7. Este posibil să plătească, fără a fi nevoie să treacă: a) 20 de cenți monede de familie de 1, 5 și 10 de cenți? b) 20 de cenți șapte monede de 1 și 5 cenți? c) 25 de cenți opt monede de 1 și 5 cenți?
a) Da. De exemplu, 5 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 20.
b) Nu. Suma de număr impar (monedă 7) de termeni impar (cop 1 sau 5) este impar, iar numărul 20 este chiar.
c) Nu. Suma unui număr par (8 monede) de termeni impar (polițist 1 sau 5) este chiar, iar numărul 25 este impar.
8. Numărul de numere scrise de la 1 la 10. Este posibil să se aranjeze între semnele „+“ și „-“, astfel încât valoarea expresiei rezultată este egală cu zero?
Decizie. Printre numerele externați cinci și cinci chiar impar, astfel încât suma lor este impar. Deci, dacă ai pus un semn „+“, motivul nu treci peste toate numerele (de la zero - un număr par). Acum, în cazul în care semnul „+“ în fața unor număr înlocuit cu „-“ semn, exprimare scrisă de paritate nu se schimbă. De exemplu, 1 + 2 +. 9 + - = 1 + 10 + 2. + 9 + 10-2 · 10. Prin urmare, atunci când o astfel de schimbare din suma dedusă efectiv de două ori numărul în fața căruia a schimbat semnul, adică un număr par. Paritatea sumei nu este schimbat. Astfel, cu orice aranjament de semne „+“ și „-“ valoarea expresiei este impar, și, prin urmare, nu este egal cu zero.
sarcini suplimentare
10. Cele șase monede sunt pe masă: trei vultur sus, trei cozi în sus. Într-o mișcare este permis să se întoarcă peste oricare două monede. Este posibil pentru câteva ture pentru a se asigura că toate monedele au fost cozi în sus?
Decizie. Să vedem cum numărul de cozi la mișcările:- Dacă rândul său, peste 2 vultur, numărul de cozi este crescut cu 2.
- Dacă rândul său, peste 2 cozi, numărul a scăzut cu 2 cozi.
- Dacă unul flips Cozi și un vultur, numărul de cozi nu este schimbat.
11. La 99 carduri scrie numerele 1, 2. 99, se amestecă, a pus partea curat în sus, și apoi scrie numerele 1, 2. 99. Pentru fiecare dintre cele două cărți și numerele sale pliate 99 de sumele obținute sunt multiplicate. Dovedi că rezultatul este chiar.
Este suficient pentru a dovedi că există cel puțin o carte, pentru care suma numerelor pe ea, chiar (de fapt produsul de 99 de numere, și chiar și atunci numai atunci când cel puțin unul dintre factorii este adevărat).
Să presupunem că nu există o astfel de card, pentru care suma numerelor scrise chiar. Acest lucru înseamnă că, pe fiecare carte sunt scrise numărul de diferite paritate. Deci, fiecare număr impar 1-99 vă puteți ridica în câteva chiar număr de la 1 la 99, și fiecare număr chiar, puteți ridica în câteva număr impar ( „pereche“ numărul scris pe spatele cardului lor). Dar apoi numărul de numere pare și impare 1-99 trebuie să fie aceleași. Și, de fapt, unul dintre aceste numere 50 impar și 49 chiar. Această contradicție arată că ipoteza noastră este incorectă, și cel puțin o carte va fi scris numărul de aceeași paritate. Apoi, suma lor este chiar, ceea ce dovedește afirmarea problemei.
12. La arborele miracol creștere de 30 portocale și banane 25. În fiecare zi, grădinarul elimină copac exact două fructe. Dacă el filmează același fruct că copac are o nouă banane, iar dacă este diferit - noul portocaliu. În cele din urmă, doar o singură bucată de fructe lăsat pe copac. Ce?
Decizie. Să vedem cum se poate schimba paritatea numărului de fructe cu posibile grădinar de acțiune.- Gardener indeparteaza copacul 2 portocale. Apoi paritatea numărului de portocale păstrate și paritatea numărului de banane modificări (adăugat ca 1 banana)
- Grădinarul ia 2 banane. Apoi paritatea numărului stocat portocalele și bananele schimbă paritatea (-2 + 1 banana banane, care a crescut)
- Grădinarul ia 2 fructe diferite. Numărul de portocale rămâne neschimbat (-1 + 1 portocală portocaliu, care a crescut) și paritatea numărului de banane este schimbat.
Vezi o greșeală? Selectați-l și apăsați pe Ctrl + Enter!