„Protecția juridică a securității naționale“
Ivanov AN Podruzhkina TA
Manualul este conceput în conformitate cu programul de lucru al disciplinei „Matematica pentru Avocați“, și este destinat pentru studenții 2 cursuri de învățământ la distanță în specialitatea 40.05.01 „Protecția juridică a securității naționale.“
Manualul definește conceptul unui eveniment aleator, se pare, ceea ce ar putea fi evenimentele și ce acțiuni pot fi efectuate pe ele. Următoarele diferite definiții ale probabilității unui eveniment aleator, teoreme de bază de probabilitate și consecințele acestora. O atenție deosebită este acordată teste independente asociate cu evenimente aleatoare. Manualul dat la conceptul unei variabile aleatoare, ia în considerare tipuri de variabile aleatoare. O atenție deosebită este acordată legea distribuției variabile aleatoare. Este suficient detaliu caracteristicile de bază numerice: identificarea lor, proprietățile și semnificația formulei de constatare.
Conceptele de bază ale statisticii matematice, descrie fundamentele teoretice ale principalelor metode ale statisticii matematice - eșantionare. Aceasta stabilește esența acestei metode, conceptele sale de bază - concepte și eșantionul general. În continuare, să definească datele statistice de bază pentru distribuția selectivă și formulele pentru găsirea lor.
Având în vedere conceptul de estimare punct și proprietățile sale de bază. Cel mai bun punct Afișate estimările pentru principalii parametri din populație.
Conceptul de estimare a intervalului. În continuare, se definește noțiunea de ipoteze statistice și identifică principalele tipuri de ipoteze. Ultima prelegere
consacrat testarea ipotezelor statistice specifice.
În prezentarea materialului la cel mai bun din înțelegerea lui este o mulțime de exemple cu soluții detaliate. întrebări de testare dat la sfârșitul fiecărui subiect.
La sfârșitul cărții sunt prezentate tabele matematice și statistice necesare.
CAPITOLUL I. MATEMATICĂ INCIDENTE
1. Conceptul și tipurile de evenimente aleatoare
Teoria probabilităților are un loc special în familia de Științe Matematice. Această știință studiază tip special de legi aleatoare.
Aproape toate evenimentele și fenomenele care au loc în lumea din jurul nostru sunt interconectate - unele dintre ele sunt rezultatul (rezultatul) altora și, la rândul lor, sunt cauza a treia. Multe evenimente au loc și rezultate ambigue, impreuna cu rezultate destul de specifice. În cazul în care prima poate prezice exact, acesta din urmă permite doar predicții probabilistice. Ambiguitatea rezultatelor, in primul rand asociate cu accidentele de diferite tipuri, care influențează în mod direct fenomenul în cauză.
Introducere în teoria probabilităților
Gândul de posibilitatea de a cuantifica unele „accident“, a fost un drum lung de parcurs înainte de a tradus în concepte specifice utilizate în aplicații practice și de cercetare științifică.
Formarea de interes pentru problemele în care le vom investiga posibilitatea de a evalua apariția unui eveniment aleator sau o oportunitate de a evalua impactul efectelor anumitor factori aleatorii asupra rezultatului, nu a fost, în primul rând, sub influența dezvoltării activității de asigurare. Cu toate acestea, impulsul de a mari matematicieni a atras atenția asupra problemelor specifice asociate diferitelor evenimente aleatoare au fost de jocuri de noroc, zaruri și cărți. În cuvintele celebrului om de știință francez S. Poisson: „Problema legată de jocurile de noroc, ... a fost sursa teoriei probabilității.“ Primul tratat în teoria probabilităților a fost scrisă de Huygens în 1657. Acesta a fost numit „Pe calculele de la jocurile de noroc.“ Deja în această carte, omul de știință a subliniat posibilitatea unei noi științe: „... un studiu atent al cititorului subiect va observa că el nu numai că joacă, dar aici sunt elementele de bază ale teoriei profunde și foarte interesantă.“
astăzi definiție comună axiomatică a probabilității a fost dezvoltat de Academicianul AN Kolmogorov. Setul propus axiomatică conceptul de probabilitate, pe o bază strict matematic, care rezultă în teoria probabilităților a luat forma ca o ramură a matematicii cu drepturi depline.
Teoria probabilităților sau, așa cum a fost numit mai devreme „Matematica
aleatoriu „- știința care studiază metodele speciale de rezolvare a problemelor,
apar în studierea masa fenomenelor aleatoare. Această masă este o tendință de stabilitate, de stabilitate.
Deschideți regularitate la evenimente aleatorii de masă și fenomene - aici
Science Plan pentru aleatoare. Teoria probabilităților dezvăluie regularități obiective inerente într-un fenomen de masă. Metodele sale fac imposibilă pentru a prezice rezultatul unor evenimente aleatoare individuale, dar poate prezice rezultatul mediu total al fenomenelor aleatoare omogene. Prin urmare, cunoașterea legilor care guvernează masele de fenomene aleatoare, se poate realiza, dacă este necesar, vizat modificări în cursul fenomenelor aleatorii și controlul lor.
Multe secțiuni ale teoriei probabilităților în ultimele decenii au devenit o ramură separată a științei. Orice discipline, cum ar fi teoria
procese stocastice, teoria de așteptare, teoria informației, econometrie, și altele.
Noțiunea de eveniment aleator, tipuri de evenimente
Unul dintre conceptele de bază ale teoriei probabilității este noțiunea
eveniment aleator.
Să presupunem că, pentru un anumit set de condiții are loc orice proces care duce la una din mai multe rezultate posibile. Procesul în sine, cu propriul set de condiții noi numim experiență sau de testare.
Acum, imaginați-vă că a produs o anumită experiență sau unele
rezultatul unui test (sau rezultat), care nu pot fi prezise în avans. De exemplu, atunci când arunca o monedă care nu se poate spune în avans modul în care va cădea: stema sau o cifră în sus. Este imposibil de prezis exact ceea ce va fi dolarul față de rubla în 6 luni? Toate aceste exemple se referă la domeniul fenomenelor aleatoare. În fiecare dintre ele rezultatul testului în avans exact imprevizibil. Acest rezultat este numit un eveniment aleator.
eveniment aleator este orice rezultat că în urma
pot sau nu pot să apară teste.
evenimente aleatorii vor fi notate cu litere majuscule ale latinescul
Alfabetul: AV C ... etc
Luați în considerare următorul exemplu.
Exemplul 1 de test .Pust este că a făcut o aruncare matritei. Vom identifica mai multe evoluții posibile în acest
încercare:
A - a scăzut la nu mai mult de șase puncte;
B - a scăzut șapte puncte;
C - a scăzut patru puncte;
D - a scăzut cu cel puțin patru puncte;
E - a scăzut la un număr par de puncte;
F - a scăzut un număr impar de puncte.
Evident, în acest test (1 arunca o matriță) întotdeauna evenimentul A are loc, un eveniment și V. Pe de altă parte, nu poate avea loc.
eveniment semnificativ pentru acest test este numit evenimentul, care, în acest test se va întâmpla.
Anumite evenimente vor fi notate cu litera U. Prin urmare, pentru acest exemplu A = U.
eveniment imposibil pentru acest test este numit evenimentul, care, în acest proces nu se va întâmpla.
eveniment imposibil este notat cu # 923;. În consecință, pentru proba B = # 923; .
Trebuie remarcat faptul că evenimentele fiabile și imposibile sunt doar pentru acest test. Prin modificarea condițiilor de testare poate garanta că aceste evenimente devin aleatoare.
Evenimentele care conțin un singur rezultat, numit elementar
(Sau simplu).
Evenimente cu mai mult de un rezultat, numit compus
(Sau compozit).
Pentru exemplul 1 C este un eveniment elementar, și evenimentul D - complex.
În cazul în care testele sunt date toate evenimentele elementare care pot să apară în ea, atunci spunem că spațiul dat probă.
Spațiu de evenimente elementare pentru acest test este mulțimea tuturor evenimentelor elementare care sunt posibile în acest test.
evenimente elementare vor fi notate cu literele # 969; 1, # 969; 2. ... și spațiul de evenimente elementare scrisoarea # 937; .
spațiu evenimente elementare pentru testul din exemplul 1 poate fi scris după cum urmează
unde # 969; 1 - a scăzut cu un punct; # 969; 2 - a scăzut două puncte; # 969; 3 - a scăzut cu trei puncte; # 969; 4 - a scăzut patru puncte; # 969; 5 - a scăzut cinci puncte; # 969; 6 - a scăzut șase puncte.
Pentru a determina acest spațiu, desigur, se presupune că cubul într-un anumit sens este „figură perfectă“, adică Nu poate fi o situație în care zarurile cade pe marginea sau vârful.
Revenind la exemplul 1, și ia în considerare cele două perechi de evenimente E și C. S. F. Este evident că atunci când se poate produce un rulou die evenimente S. E împreună și evenimente S. F nu pot avea loc simultan.
Două evenimente sunt numite în comun (sau compatibil) în acest test, în cazul în care apariția uneia dintre ele nu exclude apariția unui alt în acest proces, și inconsistente (sau incompatibil), în acest test, în cazul apariției unuia dintre ele se opune apariției unui alt în acest proces.
Este clar că evenimentele C și E sunt împărtășite, iar evenimentele C și F
incompatibil cu o aruncare de zaruri jocuri.
evenimente comune și incompatibile permit, respectiv, următoarea interpretare geometrică (a se vedea figura 1-2 ..):
Această reprezentare se numește o diagramă a Euler-Venn.
Venn diagrame Euler-numitele figuri plane care ilustrează intersecția, unirea, și diferența de seturi de numere finite.
Evenimente A1. A2. ..., A n forma un grup complet de evenimente pentru un anumit
teste, în cazul în care acestea nu sunt compatibile și, ca urmare a testării unuia dintre aceste evenimente se va întâmpla.
Revenind la exemplul 1, și ia în considerare evenimentul E - pierdere chiar puncte număr și F - pierderea unui număr impar de puncte pe o rola o matriță. Este clar că, în primul rând, ca urmare a testării unuia dintre aceste evenimente se va întâmpla, și în al doilea rând, aceste evenimente sunt inconsistente în acest
testare. Astfel de evenimente sunt numite opuse.
Două evenimente sunt numite opusul în acest test, în cazul în care acest test, ele se exclud reciproc și una dintre ele, ca urmare a testului se va întâmpla.
Eveniment, contrar acestui eveniment, vor fi notate cu aceeași literă cu un bar de mai sus.
Este evident că în exemplul 11 sunt evenimentele E și F opuse deci sau.
Deci, în general, evenimentul opus # 256; Un eveniment complementar unui grup global sau la spațiul de evenimente elementare. așa cum se reflectă în Fig. 3:
Rețineți că evenimentele imposibile într-un studiu adevărat și sunt evenimente opuse. În plus, este evident că evenimentul A opus și # 256; formează un grup complet de evenimente incompatibile pentru un test dat.
Evenimentele sunt numite la fel de posibil în acest test, în cazul în care condițiile de testare din nici unul dintre ele are o posibilitate mai mare de obiectiv decât altele.
Cu evenimente aleatorii pot fi efectuate unele aritmetică pentru a determina așa-numita algebra eveniment.
Să presupunem că avem câteva evenimente aleatoare. Apoi, se poate construi o nouă evenimente aleatoare folosind Conectivele logice „SAU“ și „și“, care, în teoria mulțimilor corespund operațiilor de unire și de intersecție.
În teoria probabilitatilor, aceste operațiuni sunt numite plus și de multiplicare, precum și rezultatele acestor operațiuni - și suma produsului evenimentelor.
Luați în considerare următorul exemplu. Să avut loc două săgeți tir (fiecare face o singură fotografie). Evenimentul A înseamnă că a lovit ținta primul shooter în cazul - a lovit ținta unui al doilea shooter. Să luăm în considerare cele două evenimente:
C - a lovit ținta cel puțin una dintre săgeți;
D - a lovit ținta ambele de săgeată.
Este ușor de înțeles că evenimentul C are loc atunci când voința sau unul dintre evenimentele A sau B sau ambele evenimente împreună. Eveniment D se va întâmpla doar atunci când are loc evenimentul și evenimentul A și B.
Suma evenimentelor A și B este un astfel de eveniment C = A + B. care apare atunci când există cel puțin unul dintre evenimentele A sau B.
Prin definiție, suma evenimentelor constă din toate rezultatele posibile ale evenimentelor A și B. Prin urmare, cantitatea de evenimente aleatoare corespunde geometrically unirii seturilor care definesc evenimentele A și B așa cum se arată în Fig. 4
Propoziția 1. Suma a două evenimente opuse pentru acest test este un eveniment important, și anume, A + # 256; = U.
Cantitatea de evenimente poate fi compus din doi nu, ci dintr-un număr mai mare de termeni. Apoi, suma unui număr finit de evenimente A1. A2. ..., An sunt numite evenimentul care are loc atunci când există cel puțin unul dintre evenimentele A1. A2. ..., A n.
produs Eveniment A și B este un astfel de eveniment D = A + B. care are loc dacă și numai dacă evenimentul a avut loc, și A și evenimentul B.
Prin definiție, produsul constă numai acele evenimente care sunt în A și B. Astfel, produsul geometrically determină intersecția (Figura 5.):
Propunerea 2. Pentru evenimente reciproc exclusive A și B, produsul lor este vidă.
Ancheta .Proizvedenie evenimente opuse este vidă, și anume A · # 256; = # 923; .
Produsul evenimentelor, precum și suma evenimentelor nu poate consta din două, dar un număr finit de factori.
Produsul unui număr finit de evenimente aleatoare A1. A2. ..., A n este numit un eveniment aleator, care are loc dacă și numai dacă toate evenimentele au avut loc A1. A2. ..., A n.
Pentru a rezolva problemele pe care le este util să se utilizeze următoarele relații simple: A sau B <=> A + B; A și B <=> A + B.
Folosind operațiile de adunare și înmulțire, pot fi complexe (compozite) evenimente defalcate în evenimente mai puțin complexe sau simple, care va simplifica foarte mult rezolvarea problemei.
În plus, există și suma de produs conceptul de diferența dintre evenimentele.
Diferența dintre evenimentele A și B este evenimentul A \ B. care are loc
când a existat un eveniment A și eveniment a avut loc V.
Pentru un eveniment aleator, puteți specifica o anumită valoare, care caracterizează posibilitatea de apariție a evenimentului - probabilitatea acesteia.