Acasă | Despre noi | feedback-ul
Secțiunea 8. Calculul diferențial al funcțiilor de o variabilă.
1. Derivata unei funcții, semnificația geometrică și fizică
2. Ecuațiile de tangentă și normală la graficul funcției.
3. derivați de masă.
4. Reguli de bază de diferențiere.
5. Comunicarea de continuitate și diferențiabilității.
6. Funcția diferențială.
7. Formula valoarea aproximativă funcție de calcul folosind diferențial.
8. Calculul principal Teorema
9. Formula lui Taylor.
10. Investigarea funcției de către primul derivat.
11. Funcția de studiu folosind derivata a doua.
12. Exemplu de test de funcționare completă.
Derivata, sensul său geometric și fizic.
Luați în considerare funcția. da incrementul argument obține o nouă valoare a funcției Ca rezultat, funcția va primi un increment (x).
Definiția. Derivata unei funcții în orice moment se numește limita raportului funcției creștere în acest moment la incrementarea argumentul atunci când
Derivata funcției în punctul notat Deci, prin definiție,
Exemplul 1. Găsiți derivata funcției
Decizie. prin definiție,
În cazul în care argumentul este interpretat ca timpul t al mișcării particulelor și calea de traversat de acest punct variază conform legii. raportul este viteza medie a punctului de pe timpul intervalului de timp este o viteză instantanee a punctului în orice moment - acesta este sensul fizic al derivatului.
Deoarece toate procesele în natură sunt în mișcare, în dezvoltare, și este caracteristică tuturor vitezei de mișcare, este clar cât de important în studiul proceselor actuale aparține funcției derivate.
Noi folosim de multe ori grafice de funcții, astfel încât considerăm sensul geometric al derivatului.
Ecuațiile tangenta si normala la graficul functiei.
Luați în considerare funcția și scrie ecuația tangentei la graficul acestei funcții într-un punct în care (a se vedea figura 2)
Noi folosim linie dreaptă ecuație cu pantă și punctul de referință: y - = k (x - Pornind de la sensul geometric al denote derivat acest număr, prin urmare, ecuația tangent are forma :.
Normal la curba de la punctul este numit o linie perpendiculară pe tangenta la curba de la acest punct. Starea de perpendicularitate a două linii drepte este faptul că produsul de coeficientul lor unghiular egal cu - 1. Se obține o concluzie finală:
- ecuatia normala la graficul functiei la punctul. în cazul în care.
Exemplul 2. Scrieți ecuația tangentei și normală la graficul funcției în punctul
Decizie. . Noi folosim ecuațiile tangentă și normală - rămâne să găsească ((0) Ca (x) = = cosx, atunci (0) = cos0 = 1 obținem: cadranele adică bisector I-III, este generată în sinusul tangentei .. origine - ecuația normală.
Prima condiție este dezvoltarea diferențierii artei derivaților de cunoaștere de masă, și anume derivați de funcții elementare de bază. Aici este dovada.
a) - funcția exponențială.