Cea mai precisă a posibilității unei frecvențe relative (frecvențe relative) pentru creșterea nelimitată a numărului de teste. Se numește probabilitatea statistică.
Această definiție este pur teoretică, deoarece în practică o creștere nelimitată a numărului de teste nu este posibil.
La calcularea numărului de evenimente elementare care constituie evenimente în schema clasică, folosită formula combinatorie frecvent cunoscută. Fiecare formule combinatorii specifică numărul total de evenimente elementare în unele experiment idealizat pentru alegerea la întâmplare m n elemente ale diferitelor elemente ale setului original, E =.
La stabilirea fiecare astfel de experiment este strict stipulat, în ce mod alegerea făcută, și ceea ce se înțelege prin diferite probe. Există două scheme de selecție fundamental diferită: în prima schemă, selecția se face fără elementele de retur (aceasta înseamnă că, fie elemente dintr-o dată m selectate sau succesiv, un element la fiecare element selectat este exclus din setul inițial). În a doua selecție schema este realizată element înțelept cu revenirea obligatorie a elementului selectat la fiecare pas și amestecarea următorul set inițial, înainte de aceasta. După selecție sau altfel transportate, elementele selectate (sau numere) pot fi comandate fie (adică aliniat într-un lanț daisy) sau nu. Rezultatul este de patru formulări diferite experiment pentru alegerea la elemente aleatorii m dintr-un total de n diferite elemente ale setului E.
Un circuit de selecție, care rezultă în combinații
În cazul în care experiența este de a alege m elemente fără întoarcere și fără ordonare, rezultate diferite ar trebui să fie luate în considerare subseturi m-element de E, având o compoziție diferită. S-a obținut în această combinație de elemente (evenimente elementare) sunt combinații de n elemente se face referire în m, iar numărul total N (W) este dată de:
Cmn = n / [m (n - m) !!] = N (n - 1)!. (N - m + 1) / m!.
CMN pentru numere, numite și coeficienții binomiali, avem următoarele identitățile, sunt adesea utile în rezolvarea problemelor:
Cmn = Cn-mn (proprietate de simetrie)
Ckn + 1 = Ckn + Ck-1n; C0n = 1 (recurență)
C0n + C1N +. + Cnn = 2n (Newton consecinta formula binom).
Exemplul 1. Un set E cuprinde primele 10 litere ale alfabetului românesc. Câte alfabetele de trei litere pot fi construite dintr-un anumit set de litere? Care este probabilitatea ca un alfabet ales la întâmplare va conține litera «a»?
Numărul de soluție egal cu numărul de alfabetele diferite subseturi trei element de E (numărul de combinații de elemente de 10 până la 3):
N (W) = C310 = 10 × 9 × 8 / (1 x 2 x 3) = 120.
Lăsați evenimentul A - alfabetul ales în mod aleatoriu trei litere care conțin litera «a». Un număr de elemente egal cu numărul de toate căile posibile pentru a selecta două dintre cele nouă litere (litere omise din zece litere «o»), adică egal cu numărul de combinații de elemente 9 la 2: N (A) = C29 = 9 x 8/2 = 36.
P (A) = N (A) / N (W) = 36/120 = 0,3.
B. circuit de selecție ce va conduce la destinații de plasare
În cazul în care experiența este de a alege elemente m fără întoarcere, dar prin care se dispune le ca alegerea în lanțul daisy, diferitele rezultate ale acestei experiențe vor fi ordonate subseturi m-element de E, un set de elemente diferite, sau ordinea lor de secvență. S-a obținut în această combinație de elemente (rezultate elementare) numite plasarea n elemente de m, iar numărul total N (W), definit prin formula:
Amn = Cmn × m! = N / (n - m) !! = N (n - 1). (N - m + 1).
În cazul în care n = m, este de experiență de fapt, ordonare aleatorie a E, adică, Aceasta reduce la o permutare aleatorie a tuturor elementelor stabilite. Apoi, N (W) = Ann = n!.
Exemplul 2: Un grup de 8 persoane, a avut loc la masa rotundă, în ordine aleatorie. Care este probabilitatea ca această persoană va fi de două distincte care stă lângă?
Decizie. Deoarece toate set ordonat de 8 elemente, atunci N (W) = A88 = 40320. Eveniment o favoare astfel de plasament, atunci când două persoane care stau lângă marcate: doar 8 perechi diferite de locuri adiacente mesei rotunde pe fiecare dintre care o persoană poate sta marcată în două moduri, cu 6 persoane rămase plasate pe scaunele rămase arbitrar, astfel încât formula numărului de elemente ale produsului direct al seturilor obține N (a) = 2 × 8 × 6. Prin urmare, P (A) = N (A) / N (W) = 2/7.
B. Circuit de selecție, rezultând în combinații cu repetiții
Dacă experimentul este de a selecta cu revenirea elementelor de m = E, dar fără secvențierea ulterioară, diferitele rezultate ale acestei experiențe va fi tot felul de seturi de m-element de compoziție diferită. Kit-urile individuale pot conține elemente duplicat. De exemplu, atunci când m = 4 și seturi imposibil de distins pentru acest experiment, și a stabilit diferit de oricare dintre cel precedent. Combinația rezultată a acestui experiment sunt numite combinații cu repetiție, iar numărul total al acestora este determinată de formula N (W) = Cmn + m-1.
Exemplul 3. În bibliotecă există cărți pe 16 ramuri ale științei. Au existat patru literatura de comanda regulat. Presupunând că orice parte a literaturii ravnovozmozhen a ordonat, găsiți probabilitatea de următoarele evenimente: A - carnete de comenzi din diferite ramuri ale științei, în - cărți de ordine din aceeași ramură a științei.
Decizie. Numărul tuturor rezultat egal probabil al acestui experiment este, evident, egal cu numărul de repetiții ale combinației elementelor 16 cu 4, adică, N (W) = C416 + 4-1 = C419.
Numărul de rezultate favorabile evenimentului A, egal cu numărul de moduri de a selecta fără înlocuirea celor patru elemente 16, deci P (A) = N (A) / N (W) = C416 / C419 »0,47.
Numărul de rezultate favorabile evenimentului B este egal cu numărul de moduri de a selecta un element din 16, deci P (A) = N (A) / N (W) = C116 / C419 »0,004.
G. Circuit de selecție, ceea ce duce la destinații de plasare cu repetiții
Dacă selectarea m elemente dintr-o varietate de E =, făcute cu întoarcere și le-a comanda într-un lanț daisy, rezultate variate vor fi tot felul de seturi m-element (în general vorbind, cu repetiții), caracterizate printr-o compoziție de elemente, sau ordinea lor de secvență. De exemplu, atunci când m = 4 seturi, sunt rezultate diferite ale acestui experiment. Rezultante combinații diferite sunt numite destinații de plasare, cu repetiție, iar numărul total al acestora este determinat prin formula
Exemplul 4: Experiența este de patru ori alegerea întoarcerea uneia dintre literele alfabetului E = vykladyvanii și cuvintele în ordinea primirii scrisorilor. Care este probabilitatea ca rezultatul va fi căptușită cu cuvântul „mama“?
Decizie. Numărul de elemente ale setului, rezultate la fel de probabile, egal cu numărul de plasamente cu repetiții 5 elemente 4 adică N (W) = 54. Cuvântul „mamă“ reprezintă doar un singur rezultat posibil. Prin urmare, P (A) = N (A) / N (W) = 1/54 »0,0016.
D. de conducere a ordonat partiții
Presupunem că E este format dintr-o multitudine de elemente distincte m. Să considerăm un experiment care constă din descompunerea E aleator în s subseturi E1, E2. Es, astfel încât:
Setul conține exact elemente ale Ei ni, unde i = 1, 2. s.
Ei stabilește în ordinea numărului de elemente ni.
Seturile ale Ei, care conțin același număr de elemente aranjate într-un mod arbitrar. De exemplu, când n = 7, n1 = 2, n2 = 2, n3 = 3 partiții E2 = E3 => și E2 = E3 => sunt rezultate diferite ale acestui experiment.
Numărul de evenimente elementare în acest experiment este definit prin formula
N (W) = n! / (N1! × n2! ×. × ns!).
Exemplul 5: Zece vizitatori de sex masculin, printre ei Petru și Ioan, situat la hotel în două triple și o cameră cvadruplă. Cât de multe moduri sunt acolo pentru a le adapta? Care este probabilitatea ca Petrov și Ivanov intră în camera cu patru paturi?
Decizie. Partițiile în acest test se caracterizează prin următorii parametri: s = 3, n = 10, n1 = 3, n2 = 3, n3 = 4. Apoi, N (W) = 10 / (3 x 3 x 4!) = 4200 !.
Lăsați evenimentul A - Petrov și Ivanov se încadrează într-o cameră cu patru paturi. Un rezultat favorabil partițiilor eveniment corespund cu următorii parametri: s = 3, n = 8, n1 = 3, n2 = 3, n3 = 2. Apoi, N (A) = 8 / = (3 x 3 x 2!)! 560. necesar probabilitatea P (A) = N (A) / N (W) = 560/4200 = 2/15.