Pe axa Ox aranjate toate numerele reale, iar pe axa y - pur imaginar, adică numere complexe de forma.
Avionul pe care sunt reprezentate de numere complexe, numit planul complex (este, de asemenea, referire la C). axa x se numește axa reală. iar axa ordonatei - imaginar.
Lungimea vectorului. reprezentând un număr complex. este modulul unui număr complex:
și unghiul. Acest vector care formează cu axa Ox. Acesta a numit argumentul unui număr complex.
Evident, unghiul definit cu precizie.
Vom numi valoarea principală a argumentului - unghiul în intervalul. Simbolic, valoarea principală a argumentului unui număr complex indică:
Apoi, întregul set de valori ale argumentului este notat cu:
Fig. 1 este ușor de a obține relația :. atunci
Definiția. Prezentarea numărului complex într-o formă numită trigonometrice a unui număr complex.
Pentru concizie numerelor complexe în formă trigonometrice convenabil de a folosi formula lui Euler:
Apoi, un număr complex poate fi scris ca:
Definiția. Reprezentarea unui număr complex în forma numită forma exponențială a unui număr complex.
Astfel, numărul de complex poate fi scris în trei forme egale:
- notație algebrică a numerelor complexe;
- formă trigonometrică a unui număr complex;
- forma exponențială a numărului de complex,
Exemplul 3. Se înregistrează numerele complexe în trei forme de înregistrare:
a); b); b) și reprezintă vectorii acestora în plan.
Decizie. a) - o formă algebrică a numărului complex. Modulul și argumentul unui număr complex.
- formă trigonometrică a unui număr complex;
- forma exponențială a numărului complex.
b) - o formă algebrică a numărului complex. Modulul și argumentul unui număr complex în care Prin urmare,
- formă trigonometrică a unui număr complex;
- forma exponențială a numărului complex.
c) - o formă algebrică a numărului complex. Modulul și argumentul unui număr complex în cazul în care
- formă trigonometrică a unui număr complex;
- forma exponențială a numărului complex.
Imagini cu numere complexe sunt prezentate în Fig. 2.
4.3. Formula DeMoivre și extragerea rădăcinii numărului complex grad n-lea
Prin calcularea produsului numerelor complexe scrise în formă trigonometric, putem vedea că modulul și argumentul unui număr complex au următoarele proprietăți:
. Modulul produs de numere complexe este egal cu produsul modulelor acestor numere :.
. Argumentul produs de numere complexe de argumente egale cu suma acestor numere :.
Folosind aceste proprietăți, se poate obține cu ușurință o formulă în construirea unui număr complex întreg de putere pozitivă, și anume:
sau în notație exponențială:
Definiția. Rădăcina numărului complex gradul n-lea numit un număr complex. care este construit în gradul n dă numărul.
Din definițiile și formulele DeMoivre clar că modulul este rădăcina dorită. și argumentul
Dă valori mai mari. Ea nu are nici un sens, așa cum vom obține o valoare argument (sus) existente.
În consecință, rădăcina n-lea grad număr complex n are valori diferite, care sunt module identice (), adică toate valorile minciuna rădăcină pe un cerc cu centrul la originea razei. și argumentele de valori consecutive diferă de un unghi.
Exemplul 4 Folosind formula DeMoivre calcula:
Decizie. a) reprezintă numărul sub forma trigonometric. Avem:
- formă trigonometrică a unui număr complex.
Aplicarea Moivre, obținem:
b) Reprezintă numărul în formă trigonometric. Avem. prin urmare
- formă trigonometrică a unui număr complex.
Aplicarea Moivre, obținem:
Exemplul 5. Găsiți rădăcina tuturor valorilor :.
Decizie. Noi reprezentăm un număr complex în formă trigonometrice. aici este motivul pentru care
În conformitate cu formula (1), găsim:
S-au găsit rădăcini corespund nodurilor unui pentagon regulat, înscrise într-un cerc cu raza centrată în origine (fig. 3).