În „Soluția ecuațiilor pătratice cu coeficienți reali“, am văzut că în domeniul complex al oricărui trinomial pătratice cu coeficienți reali are rădăcini, rădăcinile acestor două, în cazul în care discriminant este non-zero, iar unul altfel. Acum, că avem capacitatea de a extrage rădăcinile de numere complexe, putem găsi rădăcinile polinomului pătratice cu coeficienți complecși, care este, pentru a rezolva ecuația
în cazul în care. . - numere complexe.
Desemnările. . obținem ecuația. în cazul în care. O astfel de ecuație putem rezolva. Acestea rezultat două rădăcini, în cazul în care. și unul în cazul în care. Deoarece dacă și numai dacă discriminantul este zero, numărul de rădăcini determinate de aceeași condiție ca discriminant este zero sau nu. În plus, observăm că, dacă. atunci. Prin urmare, rădăcinile ecuației poate fi scrisă ca
care este una dintre soluțiile (orice!) ecuație. Rețineți că formula (17.5) poate fi scrisă (17.16) au fost îndeplinite de reale.
Exemplul 17. 10 Rezolvarea ecuației.
Decizie. Găsim discriminante:
Noi rezolva ecuația. Pentru a face acest lucru descoperire. Să. Apoi. Este suficient să se găsească doar o singură soluție. Al doilea este obținută prin înmulțirea-l. Conform formulei (17,15)
În conformitate cu formulele de jumătate din argumentul întemeiat pe faptul că. obținem
Se pare că, în domeniul numerelor rădăcini complexe, există întotdeauna nu numai în polinomului pătratic, dar, de asemenea, pentru orice polinom.
Teorema 17. 1Lyuboy nenul polinom de gradul cu coeficienți în domeniul complex are cel puțin un zero în acest domeniu.
Această teoremă se numește în mod tradițional, teorema fundamentală a algebrei. Dovada este destul de complicată și, prin urmare, nu este prezentată aici.
Este interesant de a afla cât de multe dintre rădăcinile este un polinom de grad. Știm deja că, dacă. singură rădăcină, în cazul în care. apoi, așa cum a învățat în școală, rădăcinile celor două. În plus, am văzut că polinomul are rădăcini exact distincte în cazul în care.
Teorema 17. 2Pentru orice polinom de grad diferit de zero în domeniul numerelor complexe este adevărat factoring:
Dovada dor. Cititorul poate găsi în [5].
Este evident că, în numărul menționat de expansiune. . sunt rădăcinile polinomului și alte rădăcini nu poate fi. Cu toate acestea, printre numerele pot fi identice. Prin urmare, rădăcinile poate fi mai mică. Numărul de paranteze identice (17,17) se numește multiplicitatea rădăcinii corespunzătoare. De exemplu, dacă
apoi - o rădăcină de multiplicitate 2, și - rădăcinile multiplicitate 1 sau altfel rădăcinile simple.
Din teorema anterioară este ușor de a obține teorema, dând răspunsul la întrebarea cu privire la numărul de rădăcini ale polinomului.
Teorema 17. 3B domeniu complex de orice polinom de grad pozitiv are exact rădăcinile, în cazul în care fiecare rădăcină este luată în calcul ori de câte ori multiplicitatea.
În ceea ce privește găsirea rădăcinile în valoare practică observând următoarele. există formule care să permită să-și exprime, prin rădăcinile sale coeficienților polinomiale Pentru a găsi rădăcinile polinoame, a treia și a patra de grade. Pentru un polinom de gradul al treilea - o formulă Cardano. Găsirea rădăcinile unui polinom de gradul al patrulea este redus pentru a găsi rădăcinile unui polinom de-a treia metodă de studii, aparținând Ferrari. Pentru al patrulea grad polinomul de mai sus a demonstrat că rădăcinile nu pot fi exprimate în termeni de coeficienți lor, prin intermediul radicalilor.
Cu toate acestea, chiar și pentru polinoame de gradul treia și a patra, de regulă, sunt rădăcinile fără utilizarea formulelor de mai sus, deoarece acestea dau o expresie foarte greoaie. În general, rădăcinile sunt aproximate printr-o varietate de algoritmi de calcul (vezi cap. 9).