4. Rădăcinile polinomului. rădăcini multiple. Teorema fundamentală a algebrei (OTA). Teorema vieta. Polinoame cu coeficienți reali
Definiția. Numărul este numit rădăcina polinomului dacă.
În virtutea teoremei Bézout, acest lucru este echivalent cu.
Definiția. Numărul este numit multiplicitatea rădăcina polinomului dacă și. Rădăcinile multiplicitate 1 se numește rădăcini simple rădăcinile multiplicitate mai mare de 1 se numesc multiple rădăcini.
Teorema. În cazul în care - o rădăcină de multiplicitate, apoi - o rădăcină de multiplicitate. În cazul în care - o rădăcină comună, apoi - o rădăcină multiplă.
Dovada. Să - o rădăcină de multiplicitate.
1. În cazul în care, apoi - o rădăcină de multiplicitate.
2. Dacă rădăcina, apoi, înseamnă - rădăcină ori polinomului.
Teorema fundamentală a algebrei
Teorema fundamentală a algebrei poveste poate fi citit aici.
Teorema. Orice polinom în domeniul complex are o rădăcină.
Schiță de dovada. Să presupunem că există un polinom
(Presupunem egal cu 1. Dacă vom împărți polinomul pentru a obține un polinom cu aceleași rădăcini, ale căror). Luați în considerare un set de puncte - un cerc centrat în origine. Acesta se va alinia astfel închisă.
1. este posibil să se ia suficient de mici, astfel încât (principalul factor de influență) origine nu sunt incluse în zona în care valoarea (, altfel ar fi rădăcină).
2. Ia-o suficient de mare, astfel încât originea făcea parte din zona în care.
Prin continuitatea funcției este 0.
Corolar. Ireductibili peste câmp numai polinoame de gradul I.
- extinderea sa peste domeniul numerelor complexe. atunci
\ displaystyle
\ Alpha_1 + \ alpha_2 + \ ldots + \ alpha_n = - \ frac \\ [3mm]
\ displaystyle
\ Alpha_1 \ alpha_2 + \ alpha_1 \ alpha_3 + \ ldots + \ alpha_ \ alpha_n = \ frac \\ [3mm]
\ displaystyle
\ Alpha_1 \ alpha_2 \ alpha_3 + \ ldots + \ alpha_ \ alpha_ \ alpha_n = - \ frac \\ [3mm]
\ Ldots \\
\ displaystyle
\ Alpha_1 \ alpha_2 \ ldots \ alpha_n = (- 1) ^ n \ frac.
\ End "title =" \ începe
\ displaystyle
\ Alpha_1 + \ alpha_2 + \ ldots + \ alpha_n = - \ frac \\ [3mm]
\ displaystyle
\ Alpha_1 \ alpha_2 + \ alpha_1 \ alpha_3 + \ ldots + \ alpha_ \ alpha_n = \ frac \\ [3mm]
\ displaystyle
\ Alpha_1 \ alpha_2 \ alpha_3 + \ ldots + \ alpha_ \ alpha_ \ alpha_n = - \ frac \\ [3mm]
\ Ldots \\
\ displaystyle
\ Alpha_1 \ alpha_2 \ ldots \ alpha_n = (- 1) ^ n \ frac.
\ End "style =" vertical-align: -86px; frontieră: none; „/>
Dovada se obține imediat paranteze de deschidere.
Polinoame peste Reali
Lema. Să - polinomiale cu coeficienți reali - un număr complex. Apoi.
Corolar. În cazul în care - o rădăcină complexă a unui polinom cu coeficienți reali, și - rădăcină.
Teorema. De-a lungul câmpului real, sunt polinoame ireductibile de gradul I, gradul II discriminant polinomiale negativ și numai ei.
Dovada. Faptul că aceste polinoame sunt ireductibile, în mod evident. Vom demonstra că nu există alții.
Să - polinom ireductibil cu coeficienți reali. Apoi, nu avem rădăcini reale, dar are rădăcini complexe.
Să - una dintre ele. Apoi, - o altă rădăcină. Înseamnă.
- numere reale. Deci - un polinom cu coeficienți reali, și este împărțit în. Din moment ce ireductibil peste, atunci. - al doilea grad polinomiale negativ discriminantă, deoarece altfel ar putea fi descompus de mai sus.
Corolar. Orice polinom cu coeficienți reali (cu excepția unor constante) pot fi extinse peste câmpul pe prima și a doua multiplicatorilor măsură.
1. Localizați gradul trei coeficienți polinomiali și unitate coeficient de conducere având:
2) 1 rădăcină de 2 ori și rădăcina 3.
2. Găsiți suma pătratelor rădăcinilor ecuației
3. Este cunoscut faptul că ecuația
care are trei numere întregi negative, rădăcină diferite. Find.
4. Este cunoscut faptul că ecuația
3 are rădăcini reale, suma care este zero. Find.