Definiția. Monom pluralității coeficient variabil A este o expresie a formei. în cazul în care. - număr întreg non-negativ.
Se crede că. astfel încât toate elementele din A sunt monoamele de o anumită formă.
Definiția. Monoamele se numesc similare în cazul în care exponenții sunt aceleași.
Asemenea monoamele sunt adăugate conform regulii. care se numește regula de termeni, cum ar fi. Pentru monoamele determinate și efect multiplicator.
Definiția. Polinom de gradul n-lea a x necunoscut este suma gradelor de numere întregi non-negative nu depășesc n. X necunoscut. combinate cu niște coeficienți numerici, t. e. exprimarea formei
În termeni de ordine polinomiale monoamele indiferent și altele asemenea pot fi conectate în conformitate cu regula termeni similari. Record (2.1) se numește forma canonică a polinomului. Uneori este convenabil să scrie polinoame în ordinea crescătoare performanței. Polinoamelor sunt notate. . și t. d.
Să. și. Monom este numit mai mare (senior) membru al polinomului. și indicele - gradul de polinomului și este notat. Zero polinomul are cel mai mare membru în sensul acestei definiții, se crede că este egal cu 0. Gradul de polinomului este considerat egal cu simbolul zero.
Definiția. Două polinoamele numite egale (sau identic egale), în cazul în care acestea sunt realizate în înregistrarea monoamele canonice identice și anume dacă și numai dacă. .
Cu alte cuvinte, în polinoame egale sunt coeficienții aceleași x grade necunoscute.
Definiția. Suma celor două polinoame numite polinomului obținut prin combinarea termenilor monoamele ce constituie. După combinarea necesitatea de a aduce termeni similari. Astfel, = + + ... + +.
Definiția. Produsul a două polinoame este un polinom format din lucrările tuturor membrilor primului factor la toți membrii de-al doilea. Ca termeni, descoperim că =.
Coeficientul de este. dacă presupunem că, dacă și când.
Lăsați cele două polinoame și sunt date. și în care. Apoi, produsul conține un monom nenul, care va fi mai mare pentru produsul acestor polinoame ca și celelalte produse din termenii membre sunt mai mici decât gradul.
Pentru oricare două polinoame și putem găsi și polinoame. că
gradul sau mai puțin măsură. Și polinoame. satisface condiția (2.2) este determinată în mod unic. Un polinom se numește privat. și - restul.
Definiția. două non-zero, polinomul și presupunem că avem. În cazul în care restul de la împărțirea cu zero, atunci numit împărțitor polinomul polinomial.
Definiția. Dacă - polinom. se numește valoarea polinomului la.
Teorema. Restul diviziunii polinomiale pe un polinom liniar egală cu valoarea polinomului la.
Dovada. Conform (2). unde - .. un polinom de gradul zero, adică constant. Trecerea în această egalitate cu valorile de la. Obținem. în cazul în care. Acest lucru dovedește teorema.
EXEMPLU EXEMPLU. Găsiți restul de împărțirea polinomului de un polinom.
Decizie. Conform teoremei sa dovedit mai sus.
Dacă polinoame și există un polinom. asta. atunci spunem că polinomul este împărțit de polinomul. Luați în considerare problema divizibilitatea de binom liniară. în cazul în care.
Teorema (Bézout). Pentru a fi divizibil cu un polinom. necesare și suficiente.
Dovada. A. Necesitatea. Să presupunem că este divizibil cu. t. e .. Apoi. B. suficiență. Să. Apoi, în ecuația va fi. t. e .. Acest lucru dovedește teorema.
Definiția. Numărul se numește o rădăcină a polinomului. în cazul în care.
Folosind această definiție Bézout teorema poate afirma, după cum urmează: la un polinom împărțit la binom. dacă și numai dacă c este o rădăcină. Astfel, căutarea rădăcinilor echivalentului polinomului la determinarea divizorilor sale liniare.
EXEMPLU EXEMPLU. Este un divizor polinom liniar al polinomului?
Decizie. S-au găsit. . Prin urmare, nu este un polinom divizor.
Teorema. Să. Nu va fi un polinom și numărul de astfel încât.
Dovada. Vom căuta să formeze. Din egalitatea = în comparație cu coeficienții obținem un lanț de egalități. . . . . determinată secvențial de coeficienții și reziduul:
Acest lucru dovedește teorema. Mai mult decât atât, acesta a obținut un mod foarte convenabil de a calcula coeficienții și reziduu. Această metodă este cunoscută sub numele de regula Horner.
EXEMPLU EXEMPLU. Găsiți câtul parțială și un rest prin împărțirea polinoamelor prin binomială liniar.
Decizie. Configurarea unui tabel:
Astfel. În consecință ,.
Definiția. În cazul în care. în cazul în care polinomul nu mai este împărțit în. numărul k este numit kornyas multiplicitate în polinomul. și rădăcina cu - la rădăcină al acestui ori mai mare polinom. În cazul în care k = 1, atunci spunem că rădăcina casual.
Teorema. Dacă numărul este dintr-o rădăcină a polinomului ori mai mare. atunci când este (k-1) rădăcină a primului ori mai mare derivat al acestui polinom. În cazul în care. nu va servi la rădăcină pentru.
Dovada. Să. În acest caz. . Expresia nu este divizat pentru primul termen. prin urmare, binom liniar nu un divizor. t. e. c nu este o rădăcină pentru. În cazul în care. atunci. Primul termen din această sumă este împărțită. iar al doilea - pe. deci cu - ori mai mare (k-1) din rădăcină. Acest lucru dovedește teorema.
Corolar. Dacă numărul este o rădăcină pentru. ...,. dar nu este o rădăcină pentru. în acest caz - pentru a ori mai mare radacina a polinomului.
EXEMPLU EXEMPLU. Care este multiplicitatea indicelui rădăcină de 2 pentru polinomul?
Decizie. Dacă avem. S-au găsit. ; . S-au găsit. ; . Derivata de ordinul a treia :; . astfel, rădăcină 2 multiplicitate pentru polinomul este 3.