Opredelenie.Vektorom numitul segment direcționat (pereche ordonată de puncte). Prin vectori se aplică, de asemenea, un vector de zero, începutul și sfârșitul este același.
Opredelenie.Dlinoy (unitate) vectorul este distanța dintre începutul și sfârșitul vectorului.
Definiția. Vectorii sunt numite coliniare. în cazul în care acestea sunt pe aceleași linii paralele sau. Vectorul de zero este coliniar cu orice vector.
Definiția. Vectorii se numesc coplanari. în cazul în care există un plan la care sunt paralele.
Vectorii coliniare întotdeauna coplanare, dar nu toate coplanare vectori coliniare.
Definiția. Vectorii sunt numite egale. în cazul în care acestea sunt coliniare, aceeași direcție și au aceleași module.
Orice vectori poate duce la o origine comună, și anume construi vectori, respectiv, egal cu datele și care au o origine comună. Din definiția egalității vectorilor, rezultă că orice vector are un număr infinit de vectori care sunt egale cu ea.
operații Opredelenie.Lineynymi asupra vectorilor se numește adunare și înmulțire cu un număr.
Suma vectorilor este un vector -
Munca -. astfel, coliniare.
Vector are aceeași direcție cu vectorul (-) dacă a> 0.
Vectorul este direcționat opus vectorului (-), în cazul în care un <0.
5) (a x b) = a (b) - asociativitatea
1) bază în spațiul menționat la oricare 3 vectori necoplanare, luate într-o anumită ordine.
2) Baza planului este definit ca oricare doi vectori coliniare, luate într-o anumită ordine.
3) Baza pe linie este orice vector non-zero.
Definiția. În cazul în care - o bază în spațiul și. numerele a, b și g - componente sau vector numite coordonate în această bază.
În acest sens, putem scrie următoarele proprietăți:
- vectori Egalitatea au aceleași coordonate,
- multiplicată cu numărul de componente vectoriale sunt, de asemenea, multiplicate cu acest număr,
- componentele respective sunt formate prin adăugarea vectorilor.
Dependența liniară a vectorilor.
Definiția. Vectorii se numesc liniar dependente. în cazul în care există o combinație liniară. în cazul în care nu este egal cu zero la un moment dat ai. și anume .
În cazul în care, cu toate acestea, numai dacă ai = 0 este îndeplinită. atunci vectorii sunt numite liniar independente.
Proprietatea 1. Dacă între vectorii este vectorul zero, atunci acești vectori sunt liniar dependente.
Proprietatea 2. În cazul în care sistemul este liniar vectori dependente adăuga unul sau mai mulți vectori, sistemul rezultat va fi, de asemenea, dependentă liniar.
Proprietatea 3. Sistemul de vectori sunt liniar dependente dacă și numai dacă unul dintre vectorii descompuse într-o combinație liniară de alți vectori.
Proprietatea 4. Orice doi vectori coliniare sunt dependente liniar, pe de altă parte, oricare doi vectori liniar dependente sunt coliniare.
Proprietate 5. Orice 3 vectori coplanari sunt liniar dependente și, invers, oricare 3 vectori coplanari sunt liniar dependente.
Proprietatea 6. Orice patru vectori sunt liniar dependente.
Pentru a determina poziția unui punct poate fi utilizat de către diferite sisteme de coordonate. Poziția oricărui punct de orice în sistemul de coordonate trebuie determinate în mod unic. Conceptul de sistem de coordonate este un punct de colectare de origine (originea) și o bază. Atât pe plan și în spațiu este posibil să se stabilească o varietate de sisteme de coordonate. Selectarea sistemului de coordonate depinde de setul de caractere de probleme geometrice, fizice sau tehnice. Luați în considerare unele dintre sistemul cel mai frecvent utilizat în practică, coordonatei.
Sistemul de coordonate cartezian.
Reparăm un punct O în spațiu, și considerăm un punct arbitrar M
Vectorul este numit vectorul raza punctului M. Dacă un spațiu al unui set de bază, punctul M se poate asocia anumite trei numere - componente ale vectorului de raza.
Sistemul de coordonate Opredelenie.Dekartovoy în spațiu este punctul setat și baza. Un punct este numit origine. Liniile drepte care trec prin origine se numește axele de coordonate.
Axa 1 - axa orizontală
Axa 2 - axa ordonatelor
A treia axă - z axe de coordonate
Pentru a găsi componentele vectorului de necesitatea de a coordona capătul său scade coordonatele de început.
Definiția. O bază se numește ortonormală. în cazul în care vectorii sunt ortogonale și egală cu unu.
Definiția. Cartezian sistem al cărui bază este ortonormală numit sistem de coordonate cartezian de coordonate.
Exemplu. Date fiind vectorii (1; 2; 3), (-1, 0, 3), (2, 1, -1) și (3, 2, 2), în unele baze. Arătați că vectorii. și formează o bază, și pentru a găsi coordonatele vectorului în această bază.
Vectorii formează o bază în cazul în care sunt liniar independente, cu alte cuvinte, în cazul în care ecuațiile incluse în sistem:
Această condiție este îndeplinită în cazul în care determinantul matricei sistemului este nenul.
Pentru a rezolva acest sistem vom folosi metoda Cramer.
Lungimea vectorului în coordonatele definite ca distanța dintre punctele de început și de sfârșit al vectorului. Dacă ne sunt date două puncte în spațiu A (x1. Y1. Z1), B (x2. Y2. Z2), apoi.
Dacă punctul M (x, y, z) împarte segmentul AB în sootnosheniil / m. coordonatele acestui punct sunt definite ca:
În cazul particular al coordonatelor punctului de mijloc sunt:
operații liniare cu vectori în coordonate.
Să presupunem că vectorii în sistemul de coordonate carteziene
Produsul scalar al vectorilor.
Definiția. produsul interior al vectorilor și este un număr egal cu produsul dintre lungimile laturilor cosinusul unghiului dintre ele.
Proprietățile produsului scalar:
Dacă luăm în considerare vectorii din cartezian sistemului, coordonate
Folosind ecuațiile rezultate, obținem formula de calcul a unghiului dintre vectori:
Exemplu. Găsiți unghiul dintre vectorii și. dacă
Exemplu. Găsiți produsul scalar (3 - 2) x (5 - În 6), în cazul în care
+ 12 x 36 = 240-336 + 432 = 672-336 = 336.
Exemplu. Găsiți unghiul dintre vectorii și. dacă
Exemplu. La ce m vectori și perpendiculare.
Exemplu. Găsiți produsul scalar al vectorilor. dacă
+ + 51 + 27 135 + 72 + 252 = 547.
Vector produs.
produs Opredelenie.Vektornym vectorilor este numit vector. care îndeplinesc următoarele condiții:
1). unde j - unghiul dintre vectorii și,
2) un vector ortogonal la vectorii și
3). și formează un vector dreptaci.