Să considerăm matricea A = [aij] ij elemente care sunt valabile; astfel de matrici sunt numite valabile sau reale.
Fie A = [aij] - reală matrice pătrată de ordinul n. Takkak ecuația caracteristică
este un polinom cu coeficienți reali, rădăcinile # 955; 1. # 955; 2. # 955; n ecuația caracteristică reprezentând autovalorile matricei A, în cazul perechilor lor conjugate complexitate, și anume în cazul .. # 955; s este o valoare proprie a matricei A, conjugat # 955; * S, de asemenea, o valoare proprie a lui A și are aceeași multiplicitate.
Matricea reală nu poate avea valori proprii reale. Cu toate acestea, într-un caz de important în cazul în care elementele pozitive ale matricei, este garantată existența a cel puțin unei valori proprii reale.
Teorema Perron. Dacă toate elementele unei matrice pătratică sunt pozitive, atunci cea mai mare în valoare absolută propriei sale ca un rezultat pozitiv și o simplă rădăcină a ecuației caracteristice a matricei, și corespunde unei eigenvector cu coordonate pozitive.
Vectorii proprii ale matricei A activ cu diferite valori proprii, în general, complex și nu au proprietatea de ortogonalitate. Cu toate acestea, desen vectorii proprii din matricea A transpus „pot fi obținute așa numitele relații de ortogonalitate că pentru cazul unei matrice simetrice relații de ortogonalitate convenționale echivalente.
Teorema 4.1. Dacă A - reală și valorile proprii sale sunt distincte, există două baze j> i j> En spațiu. respectiv constând din vectorii proprii ale matricei A și vectorii proprii din matricea A transpus „care satisfac condițiile următoare biortonormirovki:
Dovada. lăsa # 955; 1. # 955; 2. # 955; n - valorile proprii ale matricei A. Deoarece matricea A -, real, atunci, după cum știm, propriile valori - perechi cuplate, și anume, împreună cu propria sa valoare .. # 955; j. conjuga # 955; j *; - de asemenea, o valoare proprie a matricei A. Fie xj (j = 1, 2 n) din vectorii proprii matricei A, adică corespunzător ..
Deoarece determinantul nu se schimba valoarea sa, prin înlocuirea coloanelor de linii, de
și, prin urmare, matricea transpusa A „are aceleași valori proprii # 955; j. ca matricea A. Fie xj (j = 1, 2 n) - vectori proprii ale matricei A“, care corespunde valorilor proprii conjugate # 955; j *, adică ..
Vectorii formează de asemenea baza En. Baze xj> și bi-și anume:
Într-adevăr, pe de o parte, avem:
Pe de altă parte, având în vedere materialitatea matricei A, obținem:
Din (4.4) și (4.5) deducem:
Tak ca # 955; j ≠ # 955; k cu j ≠ k, toiz ravenstva (4.6) implică (4.3).
Arătăm că XJ vectori> și poate fi normalizat, astfel încât
De fapt, prin extinderea xj vectoriale vectorii de bază <>, avem = XJ.
Prin urmare, luând în considerare starea ortogonalitate (4.3), obținem:
Luând vectori în schimb vectori, obținem normalizarea dorit (4.7) ca
Astfel, în cazul în care valorile proprii ale matricei A reale sunt diferite, dlyasobstvennogo bază xj> matritsyA pot găsi întotdeauna o bază adecvată transpus matritsy astfel încât
unde # 948; JK - Kronecker.
Sledstvie.Esli matricea A - reală și simetrică (A '= A), este posibil să se pună: x'j = xj (j = 1,2, ..., n), unde xj - vectori proprii normalizate ale matricei A.
Deducem mai mult așa-numita expansiune biliniară a matricei A.
4.2 Teorema. Fie A - matricea reală pătrat și
(J = 1,2, ..., n) - vectori sobstvennye ee rassmatrivaemye ca matrici - coloane și
(. K = 1, 2, n) - corespunzătoare cobcmvennye vekmopy mpancnonupovannoy A'matrix-like paccmatrivaemye smpoki matrice npuchem vynolneny condiții 6uopmonormirovki (4.8):
apoi, relația
Dovada. Să considerăm matricea
alcătuite din coloane Xj (j = 1 n) și rândurile Xk „(k = l, ..., n). Prin (4.9) avem:
unde E - matricea identitate. Tak ca o matrice X compus din coloane liniar independente, ea - este nesingular, adică DETA ≠ 0 și, prin urmare, există o matrice X inversă -1 ... Pe baza (4.11), avem:
Rezultă că
și, astfel, vom obține un al doilea raport de biorthogonality
Folosind aceste relații, avem:
Multiplicând această ecuație la stânga de matricea A iuchityvaya care