Sarcina № 9.Uslovny extremum a funcției.
Funktsiyaimeet maximă condiționată (minim) în tochkeesli există un cartier care tochkidlya toate punctele care satisfac ecuațiile svyazivypolnyaetsya inegalitate.
Studiu funcție de extremelor condiționată reduce la o investigație privind extremum obișnuită a Lagrangianului
multiplicatorii Konstantynazyvayut Lagrange.
Condițiile necesare pentru un sistem de extremum exprimat condiționată
Coordonatele Soluție sistemydaot ale punctului (sau puncte ale sistemului), în care există un extremum condiționată.
condiții suficiente pentru optimizare constrânsă sunt derivate din studii efectuate în znakpri cu condiția ca ecuațiile differentsialyudovletvoryayut
Mai precis, funktsiyaimeet maximă condiționată (minim) într-un punct în cazul în care pentru toate seturile posibile care îndeplinesc (10.2), inegalitatea
Primer9.1Nayti funcția extremum condițional z = 2x + 3y, cu condiția
Soluție: Formăm Lagrangianul
Sistemul are două soluții
Pripoetomu funktsiyaz = 2x + 3yv tochkeimeet minim condițional și prisledovatelno funktsiyaz = 2x + 3yimeet in maxim tochkeuslovny.
EXEMPLUL 9.2.Nayti extremele legate de constrângerile de disponibilitate funktsiipri
Soluție: construct Lagrangianul
Punct staționar este determinat de sistemul
Nax multiplica prima ecuație, iar al doilea - ba. După calcularea obține
Dacă primele două sistemyx = y = 0 ecuațiile.
Dar aceste valori peremennyhxiyne satisfac ecuația de constrângere. Prin urmare, deci într-un fel de (10.3) imeemx = y. Substituind acest lucru în ecuație constrângere, obținem otkudax = y = 1. Astfel, izItak, singurul punct staționar al funcției Lagrange.
apoi dlyapri
Din ecuația de comunicare prix = raportul ynahodim pentru differentsialovdxidy, dx + dy = 0.
Prin urmare, Pria> 0V tochkefunktsiya este condiționată maximă și Pria <0–условный минимум. Экстремальное значение равно