număr irațional - acesta este un număr real. care nu este rațional. adică nu pot fi reprezentate în formă m n >> fracțiilor. unde m - este un număr întreg. n - număr natural. Numărul Irațională poate fi reprezentat printr-o zecimală infinită non-periodice.
Set de numere iraționale, de obicei, este notată cu litere de capital I latin> în neumplut îngroșată. Astfel: I = R ∖ Q = \ mathbb \ backslash \ mathbb>. adică setul de numere iraționale este diferența dintre seturile de numere reale și raționale.
Pe existența numerelor iraționale, sau mai degrabă segmente. incomesurabilă cu segmentul de unitate de lungime, știa deja matematica antice: a fost cunoscut, de exemplu, incompatibilitatea diagonală și latura pătratului, ceea ce este echivalent cu irationalitatea 2 >>.
antichitate
Conceptul de numere iraționale a fost acceptată implicit de matematicieni indieni din secolul VII î.Hr., când Manava (ca. 750 BC -...... Ca. 690 BC) aflat că rădăcinile pătrate de numere naturale, cum ar fi 2 și 61, aceasta nu poate fi exprimat în mod explicit [sursa care nu este specificat 571 zile].
Prima dovadă a existenței numerelor iraționale este de obicei atribuită Hippasos de Metapontum (c. 500 î. BC. E.), pitagoreana. In timpul pitagoreici crezut că există o singură unitate de lungime, suficient de mic și indivizibil, care este un număr întreg de ori incluse în orice segment [sursa care nu este specificat 571 zile].
Nu există date exacte despre irationalitatea numărul a fost dovedit Hippasos. Conform legendei, el l-a găsit studiind lungimile laturilor pentagrama. Prin urmare, rezonabil să se presupună că aceasta a fost raportul de aur [sursa care nu este specificat 542 zile].
matematicieni greci numesc acest raport de magnitudini incomensurabile Alogos (inexprimabile), dar, potrivit legendei nu a dat buna respect Hippasos. Există o legendă care Hippasos a făcut o descoperire în timp ce în timpul călătoriei, și a fost aruncată alte pitagoreici „pentru crearea elementului de univers care neagă doctrina că toate entitățile din univers poate fi redus la numere întregi și relațiile lor.“ Deschiderea Hippasos confruntat matematica pitagoreice problemă serioasă, distrugând ipoteza care stau la baza întregii teorii că numerele și obiectele geometrice sunt una și inseparabile.
Feodor Kirensky a dovedit irationalitatea rădăcinile numere naturale până la 17 (cu excepția, desigur, pătrate perfecte - 1, 4, 9 și 16), dar se opresc aici, ca în algebra set de instrumente nu este permis să dovedească irationalitatea rădăcina pătrată a 17. Despre ce cum ar putea fi o dovadă, istoricii de matematică sunt mai multe ipoteze diferite au fost propuse. Conform celui mai plauzibil [2] Jean presupunerii Itharius [fr]. sa bazat pe teorema că numărul pătrat impar este împărțit de opt și o rămășiță a unuia [3].
Mai târziu, Eudoxus din Knidos (410 sau 408 BC -.... 355 sau 347 î.Hr.) a dezvoltat teoria proporțiilor, care a luat în considerare atât atitudini rațional și irațional. Aceasta a fost baza pentru înțelegerea esenței fundamentale a numerelor iraționale. Valoarea nu a fost considerată un număr, ci desemnarea entităților, cum ar fi segmente de linie, unghiuri, arii, volume, intervale - entitati care pot varia în mod continuu (în sensul modern al cuvântului). Valorile au fost în contrast numere care pot varia doar „salturi“ de la un număr la altul, cum ar fi de la 4 la 5. Numerele sunt compilate din cea mai mică valoare indivizibile, iar valoarea poate fi redusă la infinit.
Deoarece nici o valoare cantitativă nu este cartografiată magnitudinea Eudoxus ar putea cuprinde valori și în mod proporțional și disparate la determinarea fracțiunii ca raportul dintre două cantități și proporții ca și cele două fracțiuni egale. Eliminarea din ecuațiile valori cantitative (numere), a scăpat capcana constând din necesitatea de a apela un număr irațional valoare. Teoria Eudoxus a permis matematicieni greci să facă progrese enorme în geometrie, oferindu-le motivația necesară pentru a lucra cu magnitudini incomensurabile. „Cartea 10 Elementelor“ lui Euclid dedicat clasificarea magnitudini iraționale.
Evul Mediu
Evul Mediu a marcat adoptarea unor concepte, cum ar fi de zero, numere negative, numere întregi și fracțiuni, în primul rând indian, matematicieni, apoi din China. Mai târziu sa alăturat de matematicieni arabi, care au fost primii care ia în considerare negativ al obiectelor algebrice (alături și pe picior de egalitate cu numere pozitive), ceea ce a permis dezvoltarea disciplinei, numită acum algebră.
Rațional [valoare] este, de exemplu, 10, 12, 3%, 6%, și așa mai departe, pentru că aceste valori sunt rostite și cuantificate. Ceea ce nu este rațional, irațional, și imposibil de pronuntat sau de a oferi o valoare relevantă cantitativ. De exemplu, rădăcinile pătrate de numere, cum ar fi 10, 15, 20 - nu sunt pătrate.
Spre deosebire de conceptul lui Euclid că valorile sunt în primele segmente de linie, Al Mahani considerate numere întregi și fracții valori raționale și rădăcini pătrate și cubice - iraționale. El a introdus, de asemenea, multitudinea de abordare aritmetică a numerelor iraționale, din moment ce el a arătat iraționalitate următoarele cantități:
rezultatul adăugării de valori iraționale și raționale, valoarea rezultatului scăderea unei valori raționale irațional irațional rezultat scăderea unei raționale.
matematician egiptean Abu Kamil (circa 850 AD -...... Ca. 930 AD) a fost primul care a crezut că este necesar să se recunoască numărul irațional de soluții de ecuații pătratice sau coeficienți în ecuațiile - în principal sub forma unui pătrat sau cubică rădăcini și rădăcinile patrulea grad. În matematicianul irakian din secolul al X Al Hashimi a dat dovada de ansamblu (mai degrabă decât demonstrația geometrică vizuală) a produsului iraționalității, câtul, iar rezultatele altor transformări matematice ale numerelor iraționale și raționale. Al Khazin (.... 900 AD - 971 AD) dă următoarea definiție a valorilor raționale și iraționale:
Lăsați valoarea unitară conținută în valoarea unuia sau mai multe ori, atunci [această] valoare corespunde unui număr întreg ... Fiecare valoare care este de o jumătate sau o treime sau un sfert de o singură valoare, sau, în comparație cu o singură valoare este de trei cincimi este valoare rațională. In general, orice valoare care se referă la unitatea ca un singur număr la altul, este rațional. Dacă valoarea nu poate fi reprezentat ca (l / n), multiplă sau o parte sau mai multe părți (m / n) de unitatea de lungime, este irațional, adică inexprimabil cu excepția prin rădăcini.
Multe dintre aceste idei au fost preluate ulterior de către matematicieni europeni după traducerea în latină a textelor arabe în secolul al XII-lea. Al Hassar arab matematician din Maghreb, specializat în legea islamică de moștenire, în secolul al XII-lea a introdus notația matematică modernă simbolică pentru fracțiuni, împărțirea numărătorul și numitorul unei linii orizontale. Aceeași notație a apărut în documentele din secolul XIII Fibonacci. În secolele XIV-XVI. Mădhava de Sangamagrama și reprezentanți ai școlii Kerala de astronomie și matematică a studiat seria infinită converge unor numere iraționale, cum ar fi pi, și a arătat, de asemenea, iraționalitatea unor funcții trigonometrice. Dzhestadeva citat aceste descoperiri în cartea „Yuktibhaza“.
nou timp
fracții au continuat. în strânsă legătură cu numere iraționale (fracție continuă reprezentând acest număr este infinit dacă și numai dacă numărul este irațională), au fost investigați mai întâi de Cataldi în 1613 și apoi din nou a intrat în lumina reflectoarelor în Euler lucrează, iar la începutul secolului al XIX-lea - în munca lui Lagrange. Dirichlet a făcut, de asemenea, o contribuție semnificativă la dezvoltarea teoriei fracțiilor continue. In 1761 Lambert folosind fracții continue a arătat că π este un număr rațional, și că e x> și tg x x> irațional pentru orice x rațional nenul. Deși dovada Lambert poate fi numit neterminat, este considerat a fi suficient de stricte, în special având în vedere momentul scrierii sale. Legendre în 1794, după introducerea funcțiilor Bessel - Clifford, a arătat că π 2> este irațională, iraționalitatea, unde π ar trebui să fie banală (un număr rațional în pătrat ar oferi rațional).
Existența numerelor transcendente a fost dovedită de Liouville 1844-1851 ani. Mai târziu, Georg Cantor (1873) a dezvăluit existența lor utilizând o altă metodă și a demonstrat că numărul real al oricărui interval infinit conține mai multe numere transcendentale. Sharl în 1873 sa dovedit Ionescu că e este transcendental, iar Ferdinand Lindemann în 1882, pe baza acestui rezultat a arătat transcendență π. Dovada Lindemann a fost apoi simplificată de Weierstrass în 1885, chiar mai mult simplificat Davidom Gilbertom în 1893 și, în cele din urmă, a adus la aproape elementar de Adolf Hurwitz și Paul Gordan.