Lăsați funcția z = f (x, y) este definit într-o vecinătate a punctului M (x, y) - o direcție dată de vectorul unitate în care pentru (sau); cos a, b cos - cosinusului unghiurilor formate de vectorul e cu axele de coordonate și numite cosinus direcție.
Când se deplasează în direcția punctului M (x, y) la punctul M1 (x + dx; y + Dy) primește increment funcția z D z = f (x + dx; y +
+ Dy) - f (x, y), numite creșteri în direcția funcției
În cazul în care este evident că, în consecință,
Funcția direcțională derivată a două variabile
z = f (x, y) se numește limita raportul funcției increment în această direcție la valoarea deplasării atunci când acesta tinde la zero, adică ..
schimbare harakterizuetskorost Derivata în funcție de direcție
Formula pentru derivata funcției z = f (x, y) în direcția formei
Exemplul 16. Având în vedere funcția z = x 2 + y 2. la punctul M (1, 1), direcția de unghi cu axa Ox Găsiți funcția derivată a direcției menționat la acest punct.
Deoarece unghiul de formula Prin derivata a obține
La punctul M (1, 1), obținem:
Gradientomgrad zfunktsii z = f (x, y) este un vector cu coordonatele
Să considerăm produsul scalar și vectorul unitate
Astfel, derivatul direcțional este produsul scalar al gradientului grad z și versorul definirea direcției
Grad funcție z gradientul la un anumit punct caracterizează direcția ratei maxime de schimbare a funcției în acel punct.
Exemplul 17. Găsiți gradientul unui punct M (0, 1).
Conform gradientul formula
Când x = 0 și y = 1, obținem
Test de 12. Gradientul punctului A (1, 1) este:
regula de lanț și funcții implicite
Cazul unei variabile independente
Să presupunem că z = f (x, y) - funcția diferențiabilă a două variabile x și y într-o regiune D. și argumentele x și y sunt funcții derivabile ale unei t variabile. .. Ie, x = x (t), apoi - o funcție de un t variabil.
egalitatea Teorema .Imeet
În cazul în care coincide cu una dintre argumentele, să zicem, t = x.
și se numește derivata totală a z funcției în x.
Cazul mai multor variabile independente
Dacă argumentele x și y funcția z = f (x; y) sunt funcții de două variabile, să zicem, x = x (u, v), y = y (u, v), atunci este de asemenea o funcție de două variabile, și v.
formule Teorema .Imeyut
Structura acestor formule este păstrat chiar și atunci când un număr mai mare de variabile.