solvabilitatii de algebrice. Ecuațiile cu radicali. De obicei, pentru a se referi la operațiunile de A. utilizate notație aditiv, t. E. A + semn pentru operația în sine se numește. plus, semnul 0 pentru elementul neutru, numit. zero (aceasta se numește o notație multiplicativ. unitate).
Exemple A. Toate grupările ciclice - Abe-Lev, în special, grupul aditiv de întregi - abeliene. Un oraș va fi tot felul de sume directe ale ciclice. grupuri de grup aditiv al numerelor raționale Q (care este local grupă ciclică, adică un grup, toate desigur generate subgrupuri pentru roi ciclic ..), grupuri de tip (sau gruparea în care quasicyclic. - fie un număr prim arbitrar).
Libertatea de asociere în colectoare AG coincide cu suma directă. grup abelian Free este o sumă directă de un anumit set de ciclic infinit. grupuri. Orice subgrup liber A. A. G.- liber de elemente ale setului finit de toate ordine AA al unui subgrup este numit. o parte periodică a A. Coeficientul de A prin periodicitate sa. parte este fără torsiune. Astfel, orice extindere a A. G.- periodicitate. Un oraș cu ajutorul A. torsiune. Această extensie nu este întotdeauna desparte, t. E. Periodicitate. parte, în general vorbind, nu se opune ca un sumand direct. Periodicitatea. A. Ordinea tuturor elementelor la roiul sunt puteri ale unui număr prim fix p se numește. un primar al numărului prim p (grup termenul p este utilizat în teoria generală a grupurilor). Fiecare periodice. Un oraș poate fi rezolvată, într-un mod unic, suma directă a grupurilor primare aparținând diferitelor numere prime.
Descrierea cea mai completă a A. este cunoscut pentru un număr finit de generatoare. Acesta oferă teorema principal asupra grupurilor abeliene cu un număr finit de generatoare: fiecare oraș finit generat Un este o sumă directă a unui număr finit de ciclice indecompozabile. subgrupe, una dintre care o parte a - sfârșitul face parte primar - fără sfârșit [G. Frobenius (G. Frobenius), Shtikkelberger L. (L. Stickelberger)]. În special, final A fost extins în sumă directă ciclică primară. grupuri. O astfel de extindere este, în general, nu este unic, dar oricare două dintre descompunerea A generat ca număr finit sumă directă de indecompozabile ciclică. grupuri sunt izomorfe și astfel numărul de ciclic infinit. termeni și un set de ordine ciclică primară. Termenii nu depind de alegerea descompunerii. Aceste numere sunt numite. invarianți A. generate finit, ele sunt un sistem complet de invarianți, în sensul că oricare două grupuri au cărora aceste invarianți coincid izomorfe. Orice subgrup al A. finit generat în sine are un set finit de generatoare.
A. Nu fiecare oraș poate fi reprezentat ca o sumă directă (chiar și un număr infinit) ciclic. grupuri. Pentru geometrie analitică primară există o condiție necesară și suficientă pentru existența unei astfel de expansiune - un criteriu Kulikova. Fie A - geometria analitică aproximativă a unui anumit prim p-rom. Element nenul agruppy Anazi. element de înălțime infinită în A dacă pentru orice ecuație întreg este rezolvabilă în A, iar elementul de înălțime n, în cazul în care această ecuație este rezolvabilă numai pentru Criteriul Kulikova: geometria analitică aproximativă este descompusă într-o sumă directă ciclică. grupuri dacă și numai dacă este unirea unei secvențe crescătoare de subgrupuri, fiecare dintre care înălțimea elementelor delimitate. Orice subgrup al A. descompusă într-o sumă directă ciclică. subgrupe în sine descompuși într-o sumă directă ciclică. subgrupuri. Ireductibile (sumă directă), grupări primare epuizate ciclice. grupuri exemplare și grupe
Un set finit de elemente a fost numit. dependentă liniar dacă există Tekie nu numere întregi toți egali cu zero, în cazul în care numerele tekih nu există, atunci acest set este numit. liniar independente. Un sistem arbitrar de elemente ale A sunt numite. dependentă liniar dacă dependentă liniar NEK-paradis încheie subsistemul său. Un oraș nu este periodică, are un maxim liniar de sistem independent. Puterea tuturor subsistemelor maximale liniar independente de aceeași și a cerut. rang (Prüfer) al A. Locul de periodicitate. grup este considerat a fi zero. Locul Un oraș liber coincide cu puterea sistemului său liber de generatoare.
A. Orice de rang fără torsiune am izomorf la un subgrup al grupului de aditivi de numere raționale. Există o descriere completă a acestor grupuri în tipurile de limbi. Fiecare element al A. torsiune este asociat cu caracteristicile sale - secvența de numărare. format din numere și simboluri Aceste secvențe nenegative sunt construite după cum urmează. Toate numerele prime sunt numerotate în ordine crescătoare și secvența asopostavlyaetsya element din k locul swarm este numărul dacă ecuația are o soluție în grup, iar ecuația nu are nici o soluție, și este în valoare de simbol, dacă ecuația are o soluție pentru caietul de sarcini sunt considerate echivalente în cazul în care acestea diferă de cel mult un număr finit de locuri, precum și caracterul fiecăruia dintre ele se află pe sol, cu aceleași numere. Caracteristici ale două elemente echivalente liniar dependente. O clasă de echivalență se numește caracteristici. tip. A. cu privire la orice fără torsiune rang-o corespondență de tip I, numit. Acest tip de grup, grupurile non-izomorfe corespund diferitelor tipuri.
A., torsiunea-descompusă într-o sumă directă de rang I grupe, numite. este descompusă. Nu orice subgrup al unui grup complet descompusă este complet descompusă (dar fiecare sumand direct din ea). Pentru fiecare întreg nsuschestvuet A. torsiune de rang n, indecompozabil într-o sumă directă. Pentru contra A. Sistemul complet al invarianți poate fi construit fără torsiune.
Teoria AG originare din teoria numerelor, este utilizat în multe matematice moderne. teorii. Deci, teoria naturii duale a finala A, ea a primit o dezvoltare profundă în teoria dualității pentru grupuri topologice local compacte. Dezvoltarea de omologie. algebra permis pentru a rezolva o serie de probleme în teoria geometriei analitice, de exemplu, descrie setul de toate extensiile de un grup de către altul. Dezvoltarea teoriei modulelor este indisolubil legată de AG ca un modul de peste inelul de numere întregi. Multe rezultate ale teoriei geometriei analitice pot fi reportate în cazul modulelor peste un inel principal ideală. Simplitatea relativă și studiul geometriei analitice (care confirmă, de exemplu. Solvabilitatea elementar teoriei AG), împreună cu o ofertă destul de diversă de facilități de a face o sursă constantă de exemple în multe domenii ale matematicii.
Enciclopedia de Matematică. - M. sovietic Enciclopedia. I. M. Vinogradov. 1977-1985.