Scop: Pentru a da conceptul relației dintre elementele unui set. Arată modalități de definire a relației dintre elementele unui set, ia în considerare proprietățile relațiilor.
Conceptul de relație. modalități de relații de muncă. Proprietăți de relații. O relație de echivalență. Relația ordine.
1.Ponyatie relații
Figura 1 arată surorile fii Anna și Vera Ivanovna Petia și Jura. Printre acești oameni există diferite relații de familie. Luați în considerare unele dintre ele.
a) Peter - fiul lui Anna Ivanovna. În același sens, „a fi fiul“ este Jura Vera Ivanovna. În ceea ce privește „un fiu“ nu sunt Vera Ivanovna și Anna.
Fig.1 Scriem toate perechile de elemente care sunt în relație „să fie un fiu.“ Două astfel de perechi (Peter, Anna) și (Jura; Vera I.).
Aceste perechi pot fi reprezentate printr-o figură specială, constând din puncte conectate prin săgeți. Aceste desene sunt numite grafice. Un astfel de grafic se numește graficul relației „să fie un fiu“ (Fig. 2).
b) Anna - mătușă Jura. În același sens „să fie o mătușă,“ există încă doar Vera Ivanovna și Peter. „Pentru a fi o mătușă“ relație Graf este prezentată în figura 3.
c) În ceea ce privește "o mamă sau soră" elemente sunt cele patru perechi (A. I.. VI.), (VI, AI), (I:. A. P.), (B . Și,. Yu), această relație graficul prezentat în figura 4.
Fig. 2 Fig.3 Fig.4
De asemenea, vă puteți prezenta grafice ale relațiilor „pentru a fi un văr al“, „a fi nepotul lui“ și altele.
Sigur matematica școală sunt multe exemple de relații:
- între numere. „Egali“, „nu este egal“, „mai puțin“, „mai mult“, „multiplica“, „urmează ...“, „este împărțit în ...“ și așa mai departe Etc..;
- între punctele de o linie dreaptă. „Precede“, „urmați“, și așa mai departe Etc..;
- între liniile. "Paralel", "cruce", "perpendicular";
- între avioane. "Paralel", "cruce", "perpendicular";
- între formele geometrice, „egal“, „cum ar fi“, și altele.
Astfel, în studiul matematicii nu numai ei înșiși (numărul, forma, mărimea) obiecte, dar legătura dintre ele, adică. E. Relația dintre aceste obiecte.
Cel mai adesea în matematică vedea relația dintre două obiecte, acestea sunt numite binare; relația dintre cele trei elemente - ternar; relația dintre elementele n - n-ary.
Sarcina noastră este de a învăța să se stabilească faptul că relația de ansamblu dintre modul de a clasifica o gamă largă de diferite relații.
Valoarea acestui material este necesar pentru primar profesori și profesori preșcolari pentru a studia relațiile specifice în domeniul matematicii elementare pentru a înțelege natura lor, relații, rol în asimilarea unor concepte.
Luați în considerare setul de numere X =. Între numărul de acest set poate fi setat o astfel de relație:
- "Mai mare decât" 4> 3, 5> 3, 6> 3 8> 3, 5> 4, 6 4> 8> 4, 6> 5 8> 5 8> 6;
- "Mai mare decât 1", "4 este mai mare de 3 la 1", "5 peste 4 la 1", "6 mai mult de 5 la 1";
- „Mai puțin de un factor de 2“, „3 mai puțin de 6 ori în 2“, „4 2 mai puțin de 8 ori.“
Astfel, relația dintre elementele aceluiași set este raportul dintre elementele acestui set.
Rețineți următoarele: tratarea unei anumite inegalitate, de fiecare dată când ne-am operat pe perechi ordonate. format dintr-un anumit set de numere. Prin urmare, aceste inegalități pot fi scrise în mod diferit, în formă de perechi ordonate. Luați în considerare exemplul relației „mai mult“:
Este cunoscut faptul că perechi ordonate - elementele produsului cartezian seturilor sau subseturi. Prin urmare, relația „mai mare decât“ dat pe setul X se poate spune că este un subset al setului.
In loc de a spune că raportul este determinat de o multitudine de perechi, în matematică în sine este numit set de perechi, relația dintre elementele X. Relația indicate prin litere majuscule ale alfabetului latin. P, Q, R, S și colab.
Definiția. Raportul dintre elementele mulțimii mnozhestvaHili raportul X este orice subset al X'X produsului cartezian.
După cum sa menționat mai sus, raportul poate fi prezentat grafic folosind grafice.
Luați în considerare relația „mai“ între elementele X =.
Pentru a construi un grafic al acestei relații ar trebui să fie elementele acestui set reprezintă puncte și săgeți pentru a conecta punctele care reprezintă numerele în ceea ce privește „mai mult“. Deoarece 4> 2, săgeata din cala 2 la 4; t. k. 6> 4, apoi efectuați o săgeată la 6 la 4 și t. d. iterează până când toate perechile de numere asociate raport predeterminat. Rezultatul este un grafic al relației „mai mult“ pentru elementele mulțimii X = (figura 5). Figura 5
Să luăm în considerare în acest set de relații „multiplica“ și se construiește un grafic.
La fel ca în cazul precedent descrie elementele de punctele X și să se alăture aceste săgeți care descriu numerele în legătură cu „ori“. 2 12 ori, de 12 ori și 4 t. D. Deoarece orice număr din multitudinea de X multiplica în sine, atunci graficul acestui raport va avea o săgeată, începutul și sfârșitul care coincid. Aceste săgeți pe grafic se numește buclă (Figura 6). Fig. 6
Întrebări și sarcini cu privire la acest subiect:
1. Dă conceptul de relația pe platoul de filmare. Dă exemple de relații pe platourile de filmare.
paralelism egalitate perpendicularității „mai mult“
1. Luați în considerare graficul unei relații paralele și egale. Ei au o buclă care spun că, indiferent de ce segment al setului X vom lua, el se poate spune că este paralelă cu ea însăși, sau că este egal cu el însuși.
Despre relația de paralelism și egalitatea ei spun că au o proprietate reflectivitate, sau pur și simplu că acestea sunt reflectorizante.
Opredelenie.OtnoshenieRna set X este reflexiv. În cazul în care orice element al setului X se poate spune că este în otnosheniiRs sine.
reflexiv pe orice
Astfel, în cazul în care relația este reflexiv, atunci fiecare vârf al graficului are o buclă.
2. Considerăm acum graficul paralel o relație segmente, perpendicularitate și de capital. Particularitatea lor este că, dacă o săgeată care leagă o pereche de elemente, asigurați-vă că există un alt, care face legătura între aceleași elemente, dar care merg în direcția opusă. Aceste săgeți indică faptul că:
a). în cazul în care primul segment paralel cu al doilea segment, iar cea de a doua secțiune paralelă cu prima;
b). în cazul în care primul segment este perpendicular pe un al doilea segment de linie și al doilea segment perpendicular pe primul;
c). în cazul în care primul segment este egal cu al doilea, iar a doua lungime este egală cu prima.
Despre relația de paralelism, perpendicularității și egalitatea spun că au proprietatea de simetrie, sau pur și simplu simetrice.
Opredelenie.OtnoshenieRna set X este simetrică în cazul în care faptul că x este în otnosheniiRs elementul y. Aceasta implică faptul că elementul y este otnosheniiRs x.
simetric grafic relație are o poftă de mâncare: cu fiecare săgeată de la x la y. Contele conține o săgeată care merge de la y la x.
Există o relație care nu are proprietatea de simetrie. Astfel, de exemplu, este raportul dintre „mai mult“ pentru lungimi.
3. Luați în considerare graficul relației de „lungi“. Caracteristica sa specială este faptul că, dacă săgeata se conectează două noduri, acesta este doar unul. Despre relația dintre „lung“, se spune că are proprietatea antisimetrie sau, pur și simplu, este antisimetrică.
Opredelenie.OtnoshenieRna set X este antisimetrică dacă pentru orice componente x și y ale pluralității X din faptul că x este în otnosheniiRs elementul y. Aceasta implică faptul că elementul de la un element de otnosheniiRs X nu este.
antisimetrică și pe.
Count relație antisimetrica are o poftă de mâncare: în cazul în care cele două vârfuri sunt conectate printr-o săgeată, această săgeată este doar unul.
4. Nu trebuie să credem că toate relațiile sunt împărțite în simetrică și antisimetrică. Există relații care nu posedă proprietatea de simetrie sau proprietatea antisimetrie. Atragem atenția asupra unei caracteristici a relațiilor grafic paralelismul, egalitatea și „lung“ (această caracteristică nu este imediat aparentă): dacă o săgeată trece de primul element al doilea și din al doilea - al treilea, asigurați-vă că aveți săgeata din primul element la al treilea. Această caracteristică a graficului reprezintă relațiile de date de proprietate, numit tranzitiv.
Opredelenie.OtnoshenieRna set X este tranzitiv. dacă faptul că x este în otnosheniiRs elementul y și y este un element în otnosheniiRs elementomz, rezultă că x este în otnosheniiRs elementomz.
tranzitive și pe.
Count relație tranzitivă cu fiecare pereche de săgeți merge de la x la y și de la y la z. Acesta conține săgeata extinsă de la x la z.
Întrebări și sarcini cu privire la acest subiect:
1. Formulați proprietatea reflexivitate. Dați un exemplu de o relație cu proprietatea reflexivitate.
Setați proprietățile care au o relație de grafice sunt prezentate pe risunke15.
Figura 15. a) Fig. 15 b) Fig. 15 c)
10. Are relația P pe un set de proprietăți tranzitiv, în cazul în care = P?
Luați în considerare setul de fracții, raportul dintre „egalitate“.
Construim un grafic al acestei relații (Figura 16) și definesc proprietățile sale. Acest raport:
- reflexiv. .. T pentru fiecare fracțiune este egală cu ea însăși; Fig. 16
- simetric. t. k. faptul că fracția x este egală cu fracția y. Rezultă că fracțiunea de fracție x este egal cu y;
- tranzitiv. t. k. faptul că fracția x și y este egală cu o fracțiune din fracția y este egală cu o fracțiune z. Rezultă că fracția x este egală cu o fracțiune z.
Astfel, raportul dintre fracțiile de egalitate este reflexivă, simetrică și tranzitivă. Ei spun că aceasta este o relație de echivalență.
Opredelenie.OtnoshenieRna set X este o relație de echivalență. în cazul în care are în același timp o reflexiv, simetrică și tranzitivă.
De ce matematica a identificat acest tip de relație? Uită-te la graficul relației egalității de fracțiuni. Vedem că setul pe care atitudinea specificată este împărțit în mai multe subseturi. Deci, într-un grafic relația dintre fracțiuni de egalitate împărțit în trei subseturi: ,,. Aceste subseturi sunt disjuncte, iar unirea lor este egală cu setul X m. E. Au o partiție de X în submulțimi disjuncte. Acesta nu este un accident.
Teorema. În cazul în care setul X este dată o relație de echivalență, se împarte setul în subseturi disjuncte (echivalare clase).
Converse este de asemenea adevărat: în cazul în care o relație definită pe partiția definită set X acestui set în clase, această relație este o relație de echivalență.
Cuvântul „ordine“, deseori folosim în viața de zi cu zi și în sala de clasă pentru matematică. Vorbim despre ordinea de admitere la școală, pe ordinea de cuvinte într-o propoziție; la lecția de matematică a discuta ordinea acțiunilor, ordinea de a scrie soluțiile ecuației, sarcinile și așa mai departe. d.
Care este procedura? Luați în considerare câteva exemple:
1) Pentru a stabili ordinea în setul clasei de elevi pentru a construi suficient de ei pentru creștere. Astfel, la acest set raport definit ca fiind „mai sus“. Această relație este antisimetrică și tranzitivă.
2) set de clasă pot fi simplificate și de vârstă, t. E. Stabilirea raportului să fie „peste“. Rețineți că acest raport este, de asemenea, antisimetrică și tranzitivă.
3) Toată lumea știe ordinea literelor din alfabetul românesc. Acesta oferă un raport de „urma“, având proprietățile antisimetrie și tranzitivitatea.
Opredelenie.OtnoshenieRna set X numit relație de ordine. în cazul în care este tranzitivă și antisimetrică.
Definiția. Setul X pentru a specifica raportul pe ea se numește ordinea set ordonat.
Setului X = poate fi comandat cu ajutorul relației „mai puțin decât“ din Fig. 17a), dar se poate face cu atitudine „multiplicitate“ fig.17b). dar, fiind despre relația, relația „mai mici“ și „multiplica“ ordinele de setul de numere naturale în moduri diferite.
Nu ar trebui să credem că toate relațiile sunt împărțite în relații de echivalență și relații de ordine. Există un număr foarte mare de relații care nu sunt nici relație de ordine, nici o relație de echivalență.
Deja în pre-școală copiii de vârstă se familiarizeze cu relațiile „mai mare decât“ și „mai puțin“ pentru numerele naturale. Apoi, există relații de „lungi“ și „scurt“ pentru segmentele, și așa mai departe. G. Cu aceste relații ordine stabilite în setul de numere și o multitudine de segmente.