determinanți de calcul ordinele de 4 si mai mari nu pot fi reprezentate de suficient „diagrama geometrică“ simplu, așa cum se face pentru factorii determinanți ai 2 și ordinea treia.
Pentru a identifica și de a examina determinanții de ordinul n folosim conceptele legate de unele seturi de elemente finite.
Luați în considerare mulțimea M de numere întregi: 1, 2, .... n. Elementele setului M poate fi poziționat în moduri diferite.
Definiția. orice aranjament din numerele 1, 2, ..., n într-o ordine numită ne-permutări de n numere din. O vedere generală a permutările de înregistrare a n elemente:
în cazul în care fiecare este unul din numerele 1, 2, .... n, și nici unul dintre aceste numere nu are loc de două ori și a ratat.
Ca i1 poate selecta oricare dintre numerele 1, 2, .... n. Acest lucru oferă n diferite posibilități. Dacă i1 deja selectată, atunci ca i2 poate selecta doar una dintre (n -1) numerele rămase, adică moduri diferite de a alege un număr (caractere) i1 și i2 este produsul n # 8729; (N-1), etc. Numărul de permutări de n simboluri este egal cu produsul dintre:
Dacă unele permutare schimbați între ele oricare două caractere (nu neapărat în picioare aproape), și toți ceilalți lăsate pe loc, atunci vom obține o nouă permutare. O astfel de transformare se numește o transpunere permutare.
Teorema 1. Toate permutări de n simboluri pot fi aranjate astfel încât fiecare permutare succesive obținute de la o transpunere anterioară și puteți începe cu orice permutare.
► Când n = 2 este adevărat 1: 2 → 2: 1;
Luați în considerare toate permutările de n elemente, în care primul loc este un simbol i1. Astfel de permutări și pot fi aranjate în conformitate cu teorema pentru (n -1) simboluri. Să ultima dintre aceste permutări (dat fiind faptul că simbolul i1 a fost păstrat imobilă) are forma:
Permutare (43) care cuprinde n simboluri, caractere i1 transpunere comite cu oricare alt (de exemplu, cu simbolul i2) și reordona toate permutările de (n-1) simbolurile la un punct fix pe i2 sol etc. Deci, puteți trece prin toate permutările de n simboluri. ◄
Corolar. prin orice permutare de n caractere, puteți merge la orice alt permutare aceleași personaje cu o transpunere câteva.
În cazul în care simbolul permutare I1 stă în fața simbolului i2. dar. spun ei, i1 simboluri și l2 face inversarea (încălcarea ordinii), în caz contrar aceste caractere alcătuiesc ordinea. Permutare este numit chiar. în cazul în care personajele sale este un număr par de inversiuni, și ciudat - altfel.
Notă. 1) fiecare transpunere schimbă paritatea permutare.
2) suma ordinelor și inversiuni este constantă și egală
# 9786; EXEMPLUL 31. Definim paritatea permutarea 1, 2, .... n.
Decizie. Un permutare dat este chiar, pentru că nu există inversiuni (despre încălcări).
Exemplul 32. Definire Paritatea permutare 4 5 1 3 6 2.
Decizie. Pentru a contoriza numărul de inversiuni utilizați Tabelul 1, care prezintă inversarea elementelor selectabile cu toate (încălcările de ordine de înregistrare) ulterioare.
Exemplul 33. Se specifică numărul de inversiuni din permutarea: 1, 9, 6, 3, 2, 5, 4, 7, 8.
Exemplul 34. În unele permutare din numerele 1, 2, 3, ..., 99 cel mai mare număr de inversiuni și ceea ce încă?
Exemplul 35. Care definește numărul de inversiuni 99, 50 în picioare pe un loc în permutare 1, 2, ..., 99.
1. Rearanjare - este matricea?
2. Ce este o „transpunere“ a celor două permutări ale elementelor?
3. Care este „inversarea“ a celor două permutarea selectate ale elementelor?
4. Care este „ordinea“ pentru cele două permutarea selectate dintre elementele?
5. Care este suma numărului de inversiuni și numărul de ordine în orice permutare a numerelor 1, 2, .... 99.
Definiția. Scriem o permutare sub un alt :. această intrare
numita substituție. adica prin maparea (corespondență) o multitudine de simboluri, constând din primele numere n 1, 2, ..., n, pe ea însăși. ; . . ...,
Dacă luăm în considerare că înlocuirea ca o hartă a setului de numere 1, 2, .... n nu este modificată prin transpunerea coloanelor, alege cea mai simplă expresie pentru ea:
unde # 945; i - numărul în care numărul i.
În expresia (44) înlocuind ordinul n diferă numai în înregistrarea permutarile rândul de jos, adică substituție definește în mod clar o permutare. Nye înregistrate în linia de jos. Acest lucru înseamnă că toate permutările de ordine n la fel de mult, cum să-și permutări, adică, .
Noi definim conceptul de paritate pentru substituții:
A. Pe baza unei definiții comune de substituție:
- substituție este chiar. În cazul în care paritatea permutările superioare și inferioare coincid;
- permutare ciudat. în cazul în care paritatea permutările opuse superioare și inferioare.
B. Dată fiind substituirea înregistrării private (44):
- substituție este chiar. în cazul în care determină chiar permutările;
- permutare ciudat. Dacă detectează o permutare ciudat.
De asemenea, numărarea numărului de inversiuni în permutări pentru a determina substituții de paritate sunt de asemenea folosite în ciclurile lor de expansiune. Noi folosim această tehnică (fără să îl justifice, să luăm de la sine), ia în considerare un exemplu specific.
# 9786; EXEMPLUL 36. Definim paritatea substituției.
Decizie. Pentru a determina schimbarea parității-l extinde într-un produs de cicluri:
unde paranteze după "=" semnul reprezintă cicluri: (1 → 6 → 3 → 1), (2 → 5 → 2), (4 → 4) și (7 → 7), (8 → 8), (9 → 9 ) simboluri afișarea 1,2, ..., 9, prin definiție, înlocuind (în simboluri de cicluri „rămase pe site-ul“ sunt incluse). Odată cu extinderea de substituție în cicluri, se determină numărul de decrementare. d = n - s, unde n - ordinul de substituție, s - numărul de cicluri în permutare expansiune. În acest exemplu: d = 9 - R6 = 3 - → nui număr impar de permutare.
Exemplul 37. Pentru a determina schimbarea parității se extinde într-un produs de cicluri:
în cazul în paranteze după "=" semnul reprezintă cicluri: (1 → 5 → 1), (2 → 8 → 4 → 6 → 2), (3 → 9 → 7 → 3) simboluri afișarea 1,2, ..., 9, prin definiție, substituție. Calculati decrement pentru substituirii considerat: d = 9 - 3 = 6 - → chiar și numărul de permutare chiar.
Exemplul 38. Se specifică numărul de inversiuni din permutarea: 1, 9, 6, 3, 2, 5, 4, 7, 8.
Exemplul 39. În unele permutare din numerele 1, 2, 3, ..., 99 cel mai mare număr de inversiuni și ceea ce încă?
Exemplul 40. Care definește numărul de inversiuni 99, 50 în picioare pe un loc în permutare 1, 2, ..., 99.
6. Substituirea - este matricea?
7. Ce este o „transpunere“ coloane de căutare?
8. Ce este „inversiune“ în schimbarea?
9. Care este „ordinea“ în schimbarea?
10. Care este suma numărului de inversiuni și numărul de ordine în orice permutare a numerelor 1, 2, .... 99.
Determinanți de ordinul n-lea
Să presupunem că avem o matrice pătratică de ordinul n:
Elemente ij. care pot fi elemente de orice câmp numeric. Luați în considerare toate produsele posibile de n elemente situate în diferite rânduri și coloane diferite:
în care - reprezintă o permutare a numerelor 1, 2, .... n. Numărul de astfel de produse este numărul de permutări, adică .
Formează substituirea n caractere. . (47)
Se poate remarca faptul că factorii determinanți ai ordinului 2 și 3 cu „plus“ sunt acei membri ai determinanții, indicii din care sunt chiar permutare, și cu un „minus“ - membri cu o permutare ciudată a indicilor. Această proprietate este stocată în definiția determinanților ordinul n-lea.
Definiția. determinant de ordinul n care corespunde matricei (45) este o sumă algebrică a termenilor compuse după cum urmează:
- fiecare membru al determinantul (termen sumă separată în cele de mai sus) este produs n elementului determinant, luate câte unul din fiecare coloană și fiecare rând al matricei;
- un membru al determinantului este luat cu „plus“. în cazul în care indicele este chiar permutare, și cu un „minus“. în cazul în care ciudat:
Desemnarea determinantului (48)
Aplicarea de determinare a determinantului de ordinul n pentru calculele practice, ar fi dificil. Noi investigăm proprietățile sale, care derivă direct din definiția.
determinanții svoystvo1 ordine determinată 3a stabilirea egalității de rânduri și coloane determinantul, transpune matricea A și scrie:
Să determinantul este un membru distins:
pentru determinarea semnului care utilizează o permutare de ordinul n:
ea reflectă numărul de permutare rândurile superioare ale determinantului, în care elementele matricei sunt plasate în expresia (50); și în partea de jos - numerele de coloană.
După transpunerea matricei A aceleași elemente vor fi implicate într-un membru al determinantul expresiei:
și pentru a determina semnul care va avea acest termen în permutarea determinant ar trebui să fie utilizat:
Evident că permutare paritate (51) și (53) coincid (vezi. Substituția paritate definiție).
Ne-am dovedit una dintre cele mai importante proprietăți ale determinantului de ordinul n (acum pentru n = 2, 3, ...):
Proprietatea 1. determinant nu este modificat prin transpunerea matrici :.
Proprietatea 2. Dacă unul dintre rândurile de determinant constă din zerouri, determinant este egal cu zero (acest lucru rezultă din faptul că unele zerouri ale acestei linii intră neapărat în expresia fiecărui membru al determinantului).
3. Proprietatea, toți membrii determinantul rezultat Dacă determinantul au schimbat între ei două rânduri (coloane) sunt aceleași ca și în original, dar cu semn opus, adică, schimbul a două rânduri de determinant schimba semnul (rezultă din următorul circuit de conversie factor determinant și substituțiile corespunzătoare: paritatea lor sa schimbat):
Proprietatea 4 având două rânduri determinant identice dispare (schimbul de proprietățile acestor linii 3, rezultă că d = -d, adică d = 0).
Proprietatea 5 În cazul în care toate elementele determinant i-lea rând înmulțit cu un număr arbitrar k. determinant este multiplicat cu numărul k (din expresia (48) determinantul termenul general de înregistrare: fiecare membru al determinantului conține exact un element al rândului i-lea, astfel încât fiecare dintre ele capătă un k factor care este determinant în sine este înmulțită cu k ..
6 determinant proprietate care cuprinde două linii proporțională este zero (acest lucru rezultă din proprietățile 5 și 4).
Proprietatea 7 În cazul în care toate elementele i-lea linii determinante au forma :. unde j = 1, 2, .... n. determinantul este egală cu suma a doi factori determinanți pentru care toate rândurile cu excepția i -lea, cum ar fi într-un determinant predeterminat, și i-lea rând într-unul dintre factorii determinanți constau din elementele bij. iar cealaltă - a elementelor CJI.
Proprietatea 8 Dacă unul dintre rândurile de determinant este o combinație liniară a altor rânduri sale, determinant este egal cu zero (ar trebui să fie de proprietăți de aplicare coerente 7, 6, 5, 4).
9 proprietate determinant nu se schimbă dacă unul dintre elementele rând sale corespunzătoare sunt adăugate și alte elemente, înmulțite cu același număr (7 rezultă din proprietățile și 6). Generalizarea. factor determinant nu se schimba în cazul în care una din liniile sale adaugă o combinație liniară de alte linii sale.
Se calculează determinant, în baza definiției sale, adică scris n! membrii săi și de a determina semnele lor, ar fi dificil. Metodele care permit calcularea determinantului de ordinul n-lea prin determinanții ordin inferior.
Să presupunem că avem determinantul de ordine n-lea. Pentru un număr de k. alege în rândurile determinantul k și k coloane. Elementele la intersecția acestor rânduri și coloane care formează matricea de ordine k. Determinantul acestei matrici este minoromk ordinul determinant d. Pe de altă parte, este posibil C și (n-k) coloanele - rămân minor k ordin. Sub schema de alocare a k minor lea ordin de izbitoare rânduri k și k coloane: