operație scăderea efectuată în orice inel - operația inversă de adăugare:
La punerea în aplicare a diviziunii operațiunilor - operația inversă înmulțirii în definiția inelului nu spune nimic. Se poate demonstra că în ceea ce privește operarea divizare inele diferite au proprietăți diferite. De exemplu, în diviziunea inel chiar și un număr de un număr de altul se efectuează numai în cazuri excepționale; în acel inel nu există nici un element, care să împartă toate elementele sale.
In ciclul de diviziune întregi a unui număr de altul se realizează în cazuri excepționale, dar toate elementele inelului împărțit la 1 și -1. În ciclul de funcționare rațională numere diviziune este efectuată întotdeauna cu excepția diviziunii de la zero.
Notă. Divizia de zero, este imposibil, în orice inel: element de divizare la 0 - aceasta înseamnă găsirea din inel este un element care, dar acest lucru nu este posibil, deoarece pentru fiecare element în ring :.
Algebra mai mare, în special, în matematică, în general, joacă un rol special inele comutative. Se realizează în care operarea diviziunii decât împărțirea cu zero. Acestea sunt numite câmpuri.
Dăm mai multe definiții ale câmpului, reflectând principalele sale caracteristici.
DEFINIȚIE 1. Un inel comutativ este numit un câmp și este notat dacă acesta conține cel puțin un element diferit de zero, iar în cazul în care se efectuează o operație de divizare decât divizare cu zero, adică pentru toate elementele sale și, din care, conține unul și numai un astfel de element care:
Un element numit un element particular u și stocate ca o fracție.
DEFINIȚIE 2. Un câmp este un inel comutativ ale cărui elemente nenul formează un grup în cadrul operațiunii de multiplicare:
- grup multiplicativ câmpului.
3. câmp Determinarea - este un inel comutativ cu unitate nu este egal cu zero, în care fiecare element nenul este inversabil:
Astfel cum rezultă din definițiile, câmpul este un hibrid al celor două grupuri - un grup abelian aditiv și multiplicativ drept conexe distributivitatii (acum una, comutativitatea).
Notă. Cerințele incluse în definiția câmpului se numesc axiome câmp.
Definiția. Elementele de câmp sunt numere, numite câmpuri numerice.
1. Inelul este câmpul numerelor raționale.
2. Inelul de numere reale este, de asemenea, un câmp.
3. Numerele de tip inel, în cazul în care un câmp.
4. Inelul numerelor complexe este un domeniu.
Toate exemplele sunt câmpuri numerice. Exemple de domenii non-numerice sunt discutate mai jos.