Multitudinea de elemente ale grupului G se numește generatoare, în cazul în care G este închiderea unei multitudini de operațiuni relativ grup.
Grupul generat de un singur element, denumit ciclic.
Corolarul 2.3. Orice grup conține un subgrup ciclic.
Dovada. Lăsați un element al unui grup G. Setul este ciclic.
Ordinea subgrupului ciclic generat de elementul a. Acesta a numit ordinea elementului.
Proprietatea este de 2,8. În cazul în care un membru are ordinul n. apoi a n = e.
Dovada. Luați în considerare secvența. Pe măsură ce numărul de membri din secvență este infinit, și există un număr finit de posibilități pentru elementul un anumit grad, pentru a îndeplini aceiași membri. Să. unde k Ordinea de fiecare element împarte ordinea grupului, prin urmare, o | G | = E pentru fiecare grup de elemente. Corolarul 2.4. Ordinea grupului este divizibil prin ordinul oricărui element al grupului. Teorema 2.4 (pe grupările ciclice) I. Pentru orice întreg pozitiv n, există o grupare ciclică de ordinul n. II. grupările ciclice de aceeași ordine izomorf. III. Gruparea ciclică este izomorfă un ordin infinit de întregi. IV. Orice subgrup al unui grup ciclic este ciclic. V. Fiecare divizor m număr n (și numai) o grupare ciclică de ordinul n are un subgrup unic de ordin m. Dovada. Setul de rădăcini complexe de gradul n 1 în ceea ce privește multiplicarea formează o grupare ciclică de ordinul n. Aceasta dovedește prima afirmație. Să presupunem că gruparea ciclică G de ordinul n este generat de un element a. H. o grupare ciclică de același ordin, generată de elementul b. Corespondența este unu-la-unu și păstrează operația. A doua afirmație este dovedită Gruparea ciclică ordine infinit, generat de un element a, este format din elemente. Corespondența este unu-la-unu și păstrează operația. Astfel, a treia afirmație. Fie H - subgrup al grupului ciclic G. generat de elementul unui. Elementele H sunt gradul de o. Am ales un element H, care este cea mai mică în valoare absolută grad nenul o. Lăsați acest element. Arătăm că acest element este un generator de H. subgrupului considerăm un element arbitrar al H. H este conținută în produsul pentru orice r. Am ales r egal cu coeficientul k la j. atunci k-Rj este reprezentat în restul diviziunii k prin j, și, prin urmare, mai puțin j. Deoarece H au elemente care nu sunt de zero grade o, mai mică decât j. k = 0 RJ și. A patra afirmație. Să presupunem că gruparea ciclică G de ordinul n este generat de un element a. Subgrupul generat de elementul. Este de ordin m. Să considerăm subgrupului H de ordinul m. Am ales un element H, care este cea mai mică în valoare absolută grad nenul o. Lăsați acest element. Vom arăta că j = n / m. Elementul aparține H. Prin urmare, numărul de formă rj-nv valoare absolută nenulă nu este mai mică de j. care este posibilă doar în cazul în care n este divizibil cu j nici un reziduu. Subgrupul generat. Are ordinul n / j = m. în consecință, j = n / m. Ca un generator al unui subgrup este determinată în mod unic prin ordinea sa, a cincea aserțiune.articole similare