Definiția. Să - și de grup. Ordinea unui element - este cel mai mic număr întreg pozitiv, astfel încât. Dacă acest lucru nu există, că, prin definiție, are ordin infinit. grup Ciclic. în cazul în care este format din toate puterile unui singur element, și anume, . Se numește un element de generare.
Exemplu. Grupul este ciclic, și o rădăcină primitivă arbitrar este un element generator de.
Grupul este ciclică cu generarea elementelor sale.
Adoptare [Proprietăți grupe ciclice.]
Dacă - un grup ciclic infinit cu generator de. toate gradele sunt diferite pentru.
Dacă - un grup ciclic finit de ordine de la generare. apoi - o listă a tuturor diferitelor elemente.
Elementul Gruparea ciclică este generatoare dacă și numai dacă.
Două grupuri ciclice sunt izomorfe dacă și numai dacă au aceeași ordine.
Orice subgrup al grupului ciclic este o grupă ciclică. În cazul în care. apoi ca o sămânță pentru puteți alege. în cazul în care - cel mai mic număr întreg pozitiv cu proprietatea.
În cazul în care. indicele imparte.
Pentru fiecare divizorul de ordinul a grupului ciclic are un subgrup unic de ordine.
Să presupunem - grupare ciclică de ordine pentru unele prim. Apoi, pentru oricare două subgrupuri și sau sau.
Definiția. Să - să fie un subset arbitrar al grupului. Un set este numit un sistem de generatori ai grupului. În cazul în care orice element poate fi scris. în cazul în care. .
Exemplu. Sistemul de generatoare ale grupului este multimea tuturor transpoziții.
Dovedește că substituția și constituie un sistem de generatoare în.
În grupul de permutări chiar și atunci când puteți alege un sistem de generatoare constând din toate ciclurile de lungime.