Anterior, construirea unei noi funcții de cunoscut, am folosit cele patru operații aritmetice și compoziția funcțiilor. Acum considerăm un mod fundamental diferit de a construi noile caracteristici ale cunoscute.
Dacă integrabilă pe intervalul. apoi, în mod evident, de asemenea, este integrabilă pe orice segment. imbricate în.
Prin definiție,
în cazul în care. iar funcția se numește integrală cu limită superioară variabilă.
Pe intervalul. Apoi, valoarea funcției la fel ...
aria de sub curba în intervalul.
Acest lucru permite o privire proaspata, la unele funcții bine-cunoscute, de exemplu ,. în cazul în care. astfel încât valoarea funcției în punctul este numeric egală cu aria de sub un segment hiperbolă.
Considerăm acum proprietățile funcției.
Teorema 1. Fie funcția este continuă pe intervalul. Apoi, în fiecare punct al funcției derivat al unei limite superioare variabilă este egală cu integrantul. și anume
Arătăm că funcția
Este o funcție primitivă.
Conform definiției derivatului,
Aplicarea valorii teorema medie a intervalului. Noi reprezentăm integrala în numărătorul în formă. unde și când.
Teorema 2. Dacă funcția este continuă pe intervalul. funcția este, de asemenea, continuă pe.
Calcularea integrala definită este posibilă utilizând o funcție primitiv cu formula Teorema fundamentală.
Teorema 3. Dacă funcția este continuă pe intervalul și - funcția primitivă.
Formula (4) este exprimat de Newton Fundamental.
Revenind la ecuația (3). Punerea. Găsim valoarea constantei:
Punerea în aceeași ecuație. obținem:
Găsirea integralele definite folosind formula (4) se realizează în două etape: prima etapă este de a găsi un integrantul primitiv; al doilea - aplicată efectiv, cu formula (3) - este o creștere primitivă egală cu integrala dorită. Vom introduce notația pentru incrementarea primitiv
Toate metodele utilizate în calculul primitiv este transferat pentru a calcula o integrală definită.
Teorema 4. (înlocuind variabila în definitiv integrală) .Dacă următoarele condiții:
1) este continuu în intervalul;
2) segmentul este un set de valori ale funcției. definită pe un interval și având pe acesta un derivat continuu;
3). apoi următoarea formulă
Decizie. Să. Apoi.
În cazul în care. atunci. și dacă. atunci. Prin urmare,
Formula pentru variabila integrala definită chiar mai bine decât incertitudine. Nu avem nevoie să ne întoarcem la variabilele originale, dar în schimb trebuie să schimbați limitele de integrare.
Luați în considerare modul în care o integrare de către părți în DEFINIT integrală.
Teorema 5. Dacă funcția și să aibă un derivat continuu pe segmentul. apoi următoarea formulă