O condiție necesară pentru convergența a seriei.
Teorema privind condițiile necesare pentru convergenta a seriei.
În cazul în care seria converge, limita secvenței de membri comuni ai acestei serii egale cu zero:
O altă formulare. Pentru a converge serie, este necesar (dar nu suficient!), La limita secvenței de termeni comune ale seriei este zero.
Notă. Uneori, de dragul conciziei cuvântului „secvență“ este coborâtă, și spune, „limita termenul general este zero.“ La fel pentru secvența sumelor parțiale ( „limita a sumei parțiale“).
Dovada teoremei. Noi reprezentăm termenul general de forma (1.10):
Prin ipoteză, seria converge, prin urmare, evident că. deoarece n și n -1 tind la infinit simultan. Am găsit limita secvența unui număr de membri în comun:
Notă. Reciproca nu este adevărat. Un număr satisface (1.11), nu converg în mod necesar. Prin urmare, starea sau simptomul (1.11) este o condiție necesară, dar nu este o condiție suficientă pentru convergența seriilor.
Numărul Exemplul 1. armonica. Luați în considerare seria
Această serie este numit armonice, deoarece fiecare dintre membrii săi, începând de la al doilea, este media armonică a statelor membre vecine:
Termenul general al seriei armonice satisface condiția necesară de convergență a seriei (1.11): (ris.1.3.1). Cu toate acestea, în continuare se va arăta (prin Cauchy trăsătură integrală), că acest număr diverge, adică suma sa este infinit. La ris.1.3.2 se arată că sumele parțiale crește pe termen nelimitat cu numar tot mai mare.
Corolar. Dintre condițiile necesare pentru convergența seriilor urmează un test suficient pentru divergenta dacă, sau nu există, atunci seria este divergenta.
Dovada. Să presupunem contrariul, și anume, (Sau nu există), dar seria converge. Cu toate acestea, în conformitate cu teorema de convergență a stării limita necesară termenul general ar trebui să fie zero :. Contradicția.
Exemplul 2. Testul pentru seria convergență cu termen general.
Această serie are forma:
Am găsit limita numărul total de membri:
. Potrivit anchetei seria diverge.
Mai multe progresie geometrică formate
Luați în considerare format din o progresie geometrică. Să ne amintim că progresia geometrică numita secvență de numere, fiecare membru din care, pornind de la al doilea, egal cu cel anterior înmulțit cu același număr nu este egal cu zero și se numește numitorul acestei progresii. progresie geometrică este după cum urmează:
o serie formată din membrii săi:
Acest număr se numește partea geometrică de alta, dar, uneori, de dragul conciziei se numește o progresie geometrică. Numele de „geometrică“ progresie a primit, deoarece fiecare membru, începând cu a doua, egală cu media geometrică a statelor membre vecine:
Teorema. Seria, format din membrii unei progresii geometrice
diverge și converge. Mai mult decât atât, în cazul în care suma seriei
Dovada. Termenul total al seriei, precum și termenul general de o progresie geometrică este după cum urmează :.
1) În cazul în care. atunci. deoarece în acest caz - este infinit de mare valoare.
2) Atunci când un număr se comportă diferit, deoarece dobândește diferite tipuri.
. deoarece Limita constantă este foarte constantă. pentru că prin ipoteză. termenul general al seriei nu se apropie de zero.
atunci când; limită nu există.
Astfel, în cazul în care condiția necesară a unui număr de convergență:
În consecință, seria (1.13) diverge.
3) În cazul în care. progresul este infinit în scădere. Din cursul școlar știm că n-lea sumă parțială a seriei (1.13) poate fi scrisă ca:
Găsim suma seriei. Deoarece cu (infinitezimal), atunci
Astfel, atunci când seria (1.13) converge și este o sumă egală cu
Aceasta este suma progresie geometrică infinită.
Să ne găsim limita unei secvențe a unei serii convergente cu suma S la. Din definiția suma seriei ar trebui să fie:
Apoi, (1.24) urmează:
Am constatat că reziduul este o serie convergentă, la un infinitezimal. și anume când numărul de membri exprimate din seria tinde la infinit. Acest lucru este evident din figurile 1.5.1 și 1.5.2.
Notă. Teorema despre dropping câțiva termeni ai seriei pot fi rezumate după cum urmează: pentru a se asigura că seria converge dacă și numai dacă restul său tinde la zero.
§1.6. rândurile Znakopolozhitelnye
Luați în considerare seria cu termeni non-negativ
Aceste serii vor fi numite znakopolozhitelnymi. Să considerăm o secvență de sume parțiale znakopolozhitelnogo din (1,26). Comportamentul acestei secvențe este deosebit de simplu: crește monoton cu creșterea n. și anume . (Ca un număr non-negativ se adaugă la fiecare sumă parțială ulterioară).
Conform teoremei lui Weierstrass, orice secvență delimitată converge monotone (a se vedea. I Semestrul I an). Pe această bază, vom formula un criteriu general pentru convergența serie cu termeni pozitivi.
Teorema (criteriu de convergență serie znakopolozhitelnyh comun). Pentru znakopolozhitelny seria converge, este necesar și suficient ca secvența de sume parțiale a fost limitată.
Reamintim definiția secvenței limitate: O secvență este mărginită, dacă există un M> 0 astfel încât (ris.1.6.1). Pentru seria znakopolozhitelnyh. și putem vorbi despre limitările de mai sus, deoarece limitat sub zero.
Dovada. 1) Necesitatea. Să presupunem că seria (1.26) converge Þ secvența sumelor parțiale are o limită, adică converge. Prin teorema secvenței convergentă limitată a oricărei secvențe convergent este mărginit Þ limitată.
2) suficiența. Să presupunem că secvența sumelor parțiale (1.26) este limitată.
pentru că . și anume monotonă. Prin teorema Weierstrass pe secvențe de monotone mărginită converge Þ seria (1.26).
Este clar că, în creștere nerestricționată secvență de sume parțiale diverge.
Total criteriu de convergență serie znakopolozhitelnyh permite să stabilească criterii suficiente pentru convergența serie cu termeni pozitivi. Acestea sunt semne:
1) seria de testare comparație directă;
2) testul d'Alembert lui;
3) semnează Cauchy.
Primul semn al comparației
Teorema pe prima comparatie semn.
două rânduri cu termeni non-negativi Să presupunem că:
și, începând cu unele n³N, inegalitatea
1) convergența (1.28) că seria (1.27);
2) divergența (1,27) urmează divergenta (1.28).
Cu alte cuvinte, în cazul în care o serie convergentă mai mare, apoi converge și mai mici în cazul în care numărul de varianța mai mici, apoi un (ris.1.7.1) mai mare și chiar mai divergente.
Dovada. 1) Să presupunem că - sumele parțiale ale seriei (1.27) și (1.28), respectiv. pentru că . de la (1,29), care (suma numerelor mai mici mai puțin decât suma numerelor mari). Dacă seria converge, atunci secvența sumelor sale parțiale este delimitată (de mai sus), dar apoi limitată și secvența sumelor parțiale ale seriei ca numărul de membri cu mai puțin; Þ în conformitate cu criteriul general de convergență al seriei converge.
2) Să presupunem acum că seria diverge. Să presupunem că, în acest caz, seria converge. Dar apoi, în funcție de numărul doar dovedit mai mic, de asemenea, trebuie să conveargă. Contradicția. În consecință, seria diverge.
testul de comparație este folosit pentru a studia convergenta seriilor pozitive, dacă știm convergența unei alte serii, potrivite pentru comparație cu setul următor. In cele mai multe cazuri, în comparație cu progresia geometrică (converge și divergenta) și seriile armonice generalizate. care converge pentru a> 1 și diverge la £ 1 (dovada va fi explicată mai târziu).
Să comparăm acest număr cu o progresie geometrică infinit:
Deoarece începând cu n = 3 Þ . atunci seria converge.
Să comparăm acest număr cu seria armonica divergente.
Deoarece începând cu n = 2 Þ . atunci seria este divergenta.
Notă. Acest număr este o serie armonică generalizată ,.