Rezolva problemele care implică optimizare.
Cel mai important tip de activitate educațională a studenților în matematică de predare este de a rezolva problemele. Mai mult decât atât, se pune accent pe dezvoltarea capacității studenților de a aplica cunoștințele lor școlare și competențe în situații din viața reală. În prezent, a relevat defectele caracteristice de pregătire matematică a studenților. Printre acestea se numără lipsa de absorbție a unui număr de subiecte care au aplicabilitate practică largă. Este abilitatea de a rezolva cele mai multe dintre aceste probleme practice verificate cu privire la utilizarea. Ca și în matematică de predare pentru a genera competențe de bază?
Una dintre modalitățile de formare a competențelor-cheie este de a utiliza lectiile de sarcini speciale orientate spre competență.
În rezolvarea problemelor de interes orientate spre competențe pe formarea abilităților elevilor de a utiliza cunoștințele matematice într-o varietate de situații care necesită pentru soluționarea lor diferite abordări de reflecție și intuiție.
Cele mai multe dintre eforturile lor de o persoană își petrece în căutarea pentru cel mai bun, care este, soluția optimă a problemei. În ceea ce posedă anumite resurse, pentru a atinge cel mai înalt nivel de trai, de înaltă productivitate a muncii, mai mici pierderi, maximizarea profitului, minim consumatoare de timp - asa ca pune probleme pe care trebuie să ne gândim fiecare membru al societății.
Matematicienii au reușit să dezvolte metode de rezolvare a problemelor de a găsi cele mai mari și cele mai mici valori, sau, așa cum sunt numite, sarcini de optimizare (din latinescul „optimă“ - este cel mai bun) provocările .Many, căutarea de soluții optime, pot fi rezolvate numai prin utilizarea unor metode de calcul diferențial. O serie de probleme de acest tip se realizează prin utilizarea de metode speciale de programare liniară, dar există astfel de probleme extreme, care sunt rezolvate prin intermediul matematicii elementare.
Înainte de a decide ce - sau viața de activitate, persoana încearcă să cântărească informațiile disponibile pentru aceasta, selectați-l din esențialul. Și doar atunci, când acesta devine mai mult sau mai puțin clar, din care vin și ce rezultate să se aștepte, el începe să rezolve problema. De fapt, acesta este înlocuirea sarcinilor vitale ale modelului său. O varietate de aspecte informaționale în fiecare sarcină este atât de mare, încât este dificil din varietatea de informații cu privire la fenomenul studiat sau obiectul pentru a selecta cele mai semnificative. În astfel de cazuri, este necesar să se facă o ipoteză simplificatoare pentru a identifica datele sursă pentru a determina ce va fi rezultatul, și ceea ce este relația dintre datele originale și rezultatul. Toate acestea - presupunând datele originale, rezultatele, relația dintre ele - numitul model de sarcină.
Pentru a obține răspunsul, avem nevoie de îndrumare, și ce să facă. Aceste indicații sunt adesea prezentate sub forma unui algoritm care definește relațiile matematice dintre datele de intrare și rezultate. În acest caz vorbim de construirea unui model matematic al problemei.
O persoană care au de multe ori pentru a rezolva problema de optimizare în activitatea în care aveți nevoie, folosind cel mai mic cost, efort, bani și materiale pentru a obține cel mai bun rezultat. Ca de busteni rotunzi pentru a văzut o grindă dreptunghiulară cu cea mai mică cantitate de deșeuri?
Cât de mare ar trebui să cutia pentru un debit dat al materialului și că acesta a fost cel mai mare volum? În ce moment ar trebui să construiască un pod peste râu la drumul care trece prin ea și leagă cele două orașe a fost cea mai scurtă?
PL Cebîșev a spus că „o importanță deosebită sunt metodele științei pentru a ajuta la rezolvarea problemei, comune tuturor practica umană: cum să se poziționeze fondurile lor, în scopul de a obține cel mai mare beneficiu.“ Cu aceste obiective în timpul nostru, avem de a face cu reprezentanții diferitelor profesii. Tehnologi - încercând să organizeze producția, să emită cât mai mult posibil de produse. Designerii încearcă să dezvolte un dispozitiv pentru nave spațiale, astfel încât greutatea dispozitivului a fost cel mai mic. Economiștii încearcă să-și planifice planta din cauza surselor de materii prime, astfel încât costurile de transport au fost minime, etc. În cele mai simple sarcini de optimizare, avem de-a face cu două valori, dintre care una este dependentă pe de altă parte, în plus, este necesar să se găsească o valoare a doua valoare la care prima are valoarea cea mai mică sau cea mai mare (cel mai bun în aceste condiții).
Provocări pentru optimizarea rezolva în mod obișnuit:
- elaborarea unui model matematic;
- lucra cu modelul;
- răspundă la această problemă.
Scopul lecției în studiul acestui subiect este de a învăța cum să rezolve problemele de optimizare cu ajutorul modelelor matematice.
Elevii pot fi invitați să răspundă la următoarele întrebări.
- De ce planta „SARATOVSTEKLO“ este situat în apropierea căii ferate?
- Ce tangerine profitabile pentru a cumpăra: mari sau mici, în cazul în care grosimea cojii că au aceleași?
- Ce fel de cartofi curat mai profitabile: mari sau mici?
Studenții sunt invitați la un memento.
1. Ghid pentru soluționarea problemelor în optimizarea
I etapă. Elaborarea unui model matematic.
- Analizând starea problemei, selectați valoarea optimizată, adică valoarea cea mai mare sau cea mai mică valoare în cauză. Desemnați prin litera y (sau S, R, V - în funcție de conținutul problemei).
- Unul dintre participanții la problema cantităților necunoscute, prin care este ușor de a exprima valoarea optimizat, să ia variabila independentă și marcați cu x (sau orice altă literă). Setați limite realiste de variație a variabilei independente, în conformitate cu condițiile problemei.
- Pe baza condițiilor problemei, exprimă y în ceea ce privește x. Un model matematic al problemei este o funcție y = f (x) cu domeniul X, care se găsește în a doua etapă.
Etapa II. Lucrul cu un model elaborat.
În acest stadiu, pentru funcția y = f (x), x X obține unaibv unaimili în funcție de ceea ce este necesar în problema. Se folosește setarea teoretică, pe care le-am luat în considerare în determinarea valorilor maxime și minime ale funcției.
Etapa III. Răspunsul la întrebarea problemei.
Ar trebui să obțineți un răspuns specific la problema, pe baza rezultatelor obținute în etapa de lucru cu modelul. Scrieți răspunsul în ceea ce privește sarcinile propuse.
Luați în considerare câteva exemple de sarcini.
1. Ce sarcina cea mai mare suprafață de o bucată dreptunghiulară de pământ, care poate fi o bucată de sârmă gard de lungime 2p?
Soluție: Prima etapă. Elaborarea unui model matematic
- Alegerea unei variabile x independent și exprimă prin partea ei a dreptunghiului. x cm - lungimea dreptunghiului (p-s) cm - lățimea dreptunghiului. apoi 0<х <р;
- Scriem funcția S (x) = x · (Px) = Px - x2;
Cea de a doua etapă. Lucrul cu un model elaborat.
găsi derivatul S „(x) = p-2x;
-2x rezolva ecuația p = 0,
Deci, este necesar să se găsească cea mai mare valoare a funcției de la,
p-x = P- În consecință, un dreptunghi - un pătrat cu laturile și zona este. Ie cea mai mare zona de valoare a dreptunghiului este o zonă de pătrat.
A treia etapă. Răspuns.
Sarcina 2.Prochnost grindă de secțiune transversală dreptunghiulară este proporțională cu produsul lățimea sa prin pătratul înălțimii. Ce secțiune a fasciculului ar fi, cioplită dintr-un lemn cilindric gama R, că puterea ei a fost cel mai mare?
Soluție: Prima etapă. Elaborarea unui model matematic
- Vom nota cu y (valoare optimizată) - puterea fasciculului;
- x - lățimea grinzii (variabila independentă), 0
- h2 = 4R2-x2 - înălțimea fasciculului (exprimată prin teorema lui Pitagora a unui triunghi dreptunghic);
- grinzi rezistență y = kxh2 (unde rata de k - un număr pozitiv) înseamnă, = kx (4R2 - x2), unde x [0; 2R].
Cea de a doua etapă. Lucrul cu un model elaborat.
Am găsit unaib. Pentru aceasta folosim algoritmul pentru a găsi cea mai mare valoare a funcției pe intervalul, repetat la începutul lecției.
3.Iz sarcină jurnal rotund fascicul dreptunghiular radiusaRvypilit, astfel încât cea mai mică cantitate de deșeuri.
Problema poate fi rezumată după cum urmează: un cerc de rază R o mare arie sapă dreptunghi.
Soluție: Prima etapă. Elaborarea unui model matematic
- Alegerea unei variabile x independent și exprimă prin partea ei a dreptunghiului. x cm - lungimea dreptunghiului 0 <х <2R ; см – ширина прямоугольника.;
- Scrieți funcția S (x) = x. exprimând aria unui dreptunghi.
Cea de a doua etapă. Lucrul cu un model elaborat.
Noi găsim cea mai mare valoare a funcției S (x) = x în intervalul [0; 2R].
Rezolvarea ecuației S „(x) = 0, - 0, 4 = 0, unde x = R (valoarea x = - R nu satisface condiția problemei).
Calculati valorile funcției S (x) = x, atunci când x = R și capetele [0; 2R]. pentru că S (0) = S (2R) = 0, și S (R) = 2. atunci funcția ia valoarea maximă la x = R. Deoarece cea mai mare valoare a funcției
S (x) = x în intervalul [0; 2R] se realizează într-un punct interior al segmentului, cea mai mare valoare din intervalul (0; 2R).
De asemenea, realizat în punctul x = R. În acest caz, lungimea cealaltă parte a dreptunghiului este = R, adică dreptunghi dorit este un pătrat. Cea mai mare valoare a funcției S (x) = 2
Astfel, cantitatea de deșeuri va fi cel mai puțin în cazul în care o secțiune a unei grinzi este pătrată.
A treia etap.Otvet. Cantitatea de deșeuri este cea mai mică, în cazul în care secțiunea transversală a fasciculului este un pătrat cu R. laterală
Problema 3 poate fi rezolvată fără utilizarea derivatelor.
Din Cauchy pe media aritmetică și media geometrică pentru numere pozitive arbitrare,
≥ urmează două situații importante.
- În cazul în care suma de numere naturale arbitrare egale cu S, atunci produsul lor = P atinge valoarea sa maximă egală la egalitatea tuturor numerelor.
- În cazul în care produsul de numere întregi pozitive arbitrare, egal cu P, atunci suma lor S = ia cea mai mică valoare a lui n, pentru egalitatea tuturor numerelor.
Soluție: Dacă x și y - dreptunghiului, aria S a unui dreptunghiului,
S = xy. pentru că dreptunghi înscris într-un cerc, semnul + = 4. În consecință,
S = x. Rețineți că Sbudet atinge valori maxime atunci când este mai mare = (). Dar suma factorilor și
constantă și egală cu 4, prin urmare, cea mai mare valoare este egală cu produsul lor, iar cele mai multe znachenieSravno 2, în care este atinsă dacă
=, Ie x = R, dar dacă y = R.
Răspuns. Cantitatea de deșeuri este cea mai mică, în cazul în care secțiunea transversală a fasciculului este un pătrat cu R. laterală
Luați în considerare un alt mod de rezolvare a problemei 3.
Soluție: Lăsați unghiul dintre diagonalele dreptunghiului este. Apoi, aria unui dreptunghi este egală cu jumătate din produsul lungimilor diagonalelor sinusul unghiului dintre ele, adică, S (=? 2R? 2R = 2.
Evident, cea mai mare valoare a S (2 atins în cazul în care
= 1, adică =. Deci, dreptunghiul este un pătrat cu latura de R.
Răspuns. Cantitatea de deșeuri este cea mai mică, în cazul în care secțiunea transversală a fasciculului este un pătrat cu R. laterală
În prezent, acesta a fost general acceptat că succesul dezvoltării multor domenii ale științei și tehnologiei depinde în mod semnificativ dezvoltarea multor domenii ale matematicii. Math devine un mijloc de rezolvare a problemelor organizării producției, soluții, și, în cele din urmă, contribuie la creșterea productivității și dezvoltarea progresivă durabilă a economiei naționale.
Utilizarea extrem de probleme în studiul matematicii este justificată de faptul că acestea stabilesc suficient de detaliat pentru a înțelege modul în care o persoană care caută în mod constant caută soluții la problemele vieții, având ca rezultat performanța sa financiară a fost la fel de bun posibil. Rezolvarea problemelor de acest tip, observăm, pe de o parte, natura abstractă a conceptelor matematice, iar pe de altă parte - o mare aplicabilitate eficientă a acestora pentru rezolvarea problemelor practice ale vieții.
Probleme extreme de ajutor pentru a vă familiariza cu unele dintre ideile și metodele de aplicare a matematicii școlare, care sunt adesea utilizate la locul de muncă, în cunoașterea realității.
Voznyak G. M. Gusev V. A. Aplicații la extreme. M. Educație 1985.
Rezolva problemele care implică optimizarea
GBOU „SKSH №2» Marchenkova LI
De reținut pentru a rezolva problemele de optimizare
I etapă. Elaborarea unui model matematic.
Analizând starea problemei, selectați valoarea optimizată, adică valoarea cea mai mare sau cea mai mică valoare în cauză. Desemnați prin litera y (sau S, R, V - în funcție de conținutul problemei).
Unul dintre participanții la problema cantităților necunoscute, prin care este ușor de a exprima valoarea optimizat, să ia variabila independentă și marcați cu x (sau orice altă literă). Setați limite realiste de variație a variabilei independente, în conformitate cu condițiile problemei.
Pe baza condițiilor problemei, exprimă y în ceea ce privește x. Un model matematic al problemei este o funcție y = f (x) cu domeniul X, care se găsește în a doua etapă.
II etap.Rabota cu modelarea.
În acest stadiu, pentru funcția y = f (x), x € x obține y sau y Naim naib în funcție de ceea ce este necesar în problema. Se folosește setarea teoretică, pe care le-am luat în considerare în determinarea valorilor maxime și minime ale funcției.
III etap.Otvet cu privire la problema problemei.
Ar trebui să obțineți un răspuns specific la problema, pe baza rezultatelor obținute în etapa de lucru cu modelul. Scrieți răspunsul în ceea ce privește sarcinile propuse.
1. Ce sarcina cea mai mare suprafață de o bucată dreptunghiulară de pământ, care poate fi o bucată de sârmă dlinoy2p gard?
Sarcina 2.Prochnost grindă de secțiune transversală dreptunghiulară este proporțională cu produsul lățimea sa prin pătratul înălțimii. Ce secțiune a fasciculului ar fi, cioplită dintr-un lemn cilindric gama R, că puterea ei a fost cel mai mare?
Sarcină 3.Iz rotund log raza R a văzut un fascicul dreptunghiular, astfel încât cea mai mică cantitate de deșeuri. (I metodă)
Sarcină 3.Iz rotund log raza R a văzut un fascicul dreptunghiular, astfel încât cea mai mică cantitate de deșeuri. (Metoda II)
Sarcină 3.Iz rotund log raza R a văzut un fascicul dreptunghiular, astfel încât cea mai mică cantitate de deșeuri. (Metoda III)
