Concepte de bază și definiții
concepte primare
Experiența (experiment)
Una dintre cele mai importante etape în construcția unui model matematic al unui obiect sau proces aleator este descrierea sa în ceea ce privește primar. În teoria probabilitatilor, numită această descriere care descrie experiența sau experiment. Miezul în această specificație este de a determina experiența rezultat elementar. Dificultatea principală în construirea unui model matematic constă în faptul că una dintre fenomenele aleatoare pot fi asociate cu nenumărate descrieri diferite în formă de experiență și, prin urmare, diferite variante de evenimente elementare.
rezultat elementar
Rezultatul elementar este termenul primar și poate fi explicată decât printr-un exemplu. Rezultatul Elemental este cea mai mică unitate indivizibilă de descriere a experimenta cel mai mic eveniment aleator. Se presupune că o experiență în același timp, nu se poate întâmpla sunt două rezultate elementare diferite. De exemplu,
1. Experiență: aruncarea unei monede
Rezultatele elementare: stema, cozi - doar două rezultate diferite
2. Experiență: aruncarea zaruri
Rezultatele elementare de realizare 1: numărul de puncte de pe fața superioară a rezultatelor -6
Rezultatele elementare Opțiunea 2: a scăzut chiar și cu fața sau impar -2 rezultat
3.Opyt: aruncarea a două zaruri
3.1 rezultate elementare de realizare 1: a scăzut într-o cantitate de 6 puncte sau a scăzut -2 rezultat
3.2 Rezultatele elementare Opțiunea 2: precipitații în cantitate de 7 puncte sau a scăzut -2 rezultat
3.3 Rezultatele elementare, opțiunea 3: suma punctelor scăzut - 11 rezultate ale
3.4 Elementar rezultatelor 4 opțiune: numărul de puncte de pe oase, fără discriminare zaruri [,,,,,,,,,,, ...] - 21 rezultat
3.5 elementar 5 rezultate realizare: numărul de puncte de pe oase, fără deosebire c [dice (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1, 6), (2,1), (2,2), ...] -36 rezultate
Spatiul rezultatelor elementare
Cardinality setului nu se măsoară în cai putere, iar numerele cardinale. Există seturi cu numărarea finit, cardinalitatea continuum, și chiar mai mult. În cazul în care elementele setului pot fi numărate, dar nu este definitivă, este numărabilă.
Setul de rezultate elementare ale unui experiment în teoria probabilității se numește spațiul de evenimente elementare. Rezultatele elementare sunt elemente (puncte) ale acestui set. În exemplele anterioare, este clar că poate fi comparat cu experiența reală a câteva descrieri de spațiu evenimente elementare. Astfel, pentru descrierea experimentelor ca setul principal de concepte matematice sunt folosite. În probabilităților sale partea generală nu utilizează niciun fel de proprietăți specifice ale evenimentelor elementare și seturi, cu excepția numărului de elemente din ele sau capacitatea lor. Prin urmare, orice spațiu de două evenimente elementare cu același număr de elemente sau aceeași putere din punctul de vedere al teoriei probabilității echivalente. De exemplu, în experiența de a arunca o monedă, putem alege ca rezultatele cuvântului „stema“ și „cozile“ sau numărul „0“ și „1“. Spațiul de evenimente elementare este, de obicei, după cum urmează:
și el însuși ca un rezultat elementar
Puteți înregistra relația dintre spațiul de evenimente elementare si a rezultatelor, deoarece elementar
Sfaturi pentru construirea unui spațiu de evenimente elementare.
Rețineți problema pe care doriți să rezolve - este un eveniment aleator, probabilitatea de care aveți nevoie pentru a găsi, trebuie să fie descrise prin specificarea evenimentelor elementare care au condus la acest eveniment.
La început, încercați să introducă descriere mai detaliată a experienței - apoi începe să înțeleagă, în unele cazuri, este posibil, fără a aduce atingere rezultatului final, pentru a simplifica modelul.
Între diferite modele de model adecvat pare preferabil, în care rezultatele elementare sunt simetrice si la fel.
selectat Foarte convenabil rezultate elementare sub formă de vectori de dimensiuni egale cu numărul de diferiți factori aleatorii (surse) într-un fenomen aleator și coordonatele care corespund diferitelor valori candidate ale acestor factori. De exemplu, atunci când două zaruri aruncare rezultat elementar are dimensiunea 2 și 6 fiecare coordonată valori. Cu aruncarea simultană a monedei și osul unui vector este de dimensiune 2, valoarea primei coordonate a 2, al doilea - 6 (sau invers). În cazul în care moneda arunca 10, poate lua o multitudine de vectori binari diferite de dimensiune 10 de unu și zero ca spațiu de evenimente elementare.
defini
subseturi
Dacă spațiul de evenimente elementare definite, devine posibil să se descrie orice eveniment care a avut loc în experiența, arătând doar ce rezultate elementare corespund acestuia.
Elementar Primer.3.5 rezultatelor 5 realizări: numărul de puncte de pe oase, fără a distinge zaruri [(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1 , 6), (2,1), (2,2), ...] -36 rezultate.
evenimente elementare pot fi reprezentate ca
unde i - numărul de puncte pe prima matriță, j - al doilea os.
Apoi evenimentul „două oase au căzut în valoare de 7 puncte“ poate fi reprezentat ca următorul subset de rezultate elementare:
Rețineți că ordinea evenimentelor elementare pot fi arbitrare. Ulterior subseturi de evenimente elementare vor fi notate cu litere majuscule A, B, C ...
Golirea subset denotă
Deoarece vidă nu conține rezultate elementare, reprezintă un eveniment imposibil în teoria probabilităților.
Setul tuturor evenimentelor elementare numite , desigur, un anumit eveniment.
Rezultatul elementar al unui eveniment aleator este cel mai simplu punct subsetul.
subseturi manipulând
Operații standard pe subseturi utilizate în mod natural în teoria probabilităților și sunt interpretări probabilistice.
plus
Adăugarea la un subset al A - este un subset al
t. e. A este complementul la subsetul, inclusiv toate evenimentele elementare care nu sunt conținute în A. Din punct de vedere al teoriei probabilității, subgrup A este un eveniment care se numește în mod natural negare sau A-A. Ie A în experimentul nu a avut loc ( „nu a avut loc“).
uniune
Combinarea a două subseturi A și B este un subset al
Prin urmare, interpretarea. A apărut sau A sau B.
intersecție
Intersecția dintre cele două subseturi. A și B este un subset al
Prin urmare, interpretarea. și A și B a avut loc simultan.
Diferența dintre cele două subseturi A și B este un subset al
Prin urmare, interpretarea. A întâmplat, B - nr.
diferența simetrică
diferența simetrica două subseturi A și B este un subset al
Prin urmare, interpretarea. nu a fost doar una dintre aceste două evenimente.
Numărul de elemente din subsetul
În cazul în care numărul de elemente într-un subset al A este finit, atunci ce notăm
Relația dintre subseturile
Subset este încorporat în submulțimea A, în cazul în care orice rezultat elementar conținut în B este, de asemenea, găsite în A.
Săgeata va fi folosit, de asemenea, pentru tipul de declarații: „A implică B“, în formularea definițiilor și teoreme
Adică, dacă a existat B, ceva sa întâmplat și A.
incompatibilitate
Subseturile A și B sunt numite incompatibile (disjuncte), în cazul în care nu conțin evenimente elementare comune.
Teoria probabilităților, acest lucru înseamnă că A și B nu pot avea loc simultan.
opoziție
Subseturile A și B sunt numite opuse sau complementare între ele, dacă acestea nu sunt compatibile și combinarea acestora în mod fiabil.
În teoria probabilitatilor, acest lucru înseamnă că, în experiența se va întâmpla unul și numai unul dintre aceste evenimente.
Pentru a dovedi egalitatea dintre cele două subseturi A și B este suficientă pentru a arăta că A este încorporat în B, iar B este încorporat într-un
Următoarele formule sunt folosite pentru a exprima anumite operațiuni prin alte subseturi. Dovada este de la sine.
subseturi complete de grup
grup complet de subseturi este o secvență set sau numărabilă finit de unire pairwise este subseturi semnificativ incompatibile:
Experiența se va întâmpla cu siguranță unul și numai unul dintre aceste evenimente.
Oricare două subseturi de opuse formează un grup complet de subseturi.
În cazul în care spațiul de evenimente elementare este finit sau numărabil, apoi face rezultatele elementare sunt subseturi ale grupului complet.
Algebră și sigma-algebra
La construirea unui model matematic al unui obiect aleatoriu, nu trebuie să specificați numai toate rezultatele posibile ale experienței elementare, dar, de asemenea, pentru a identifica (lista) toate posibilele evenimente care pot să apară în acest experiment. Acesta a adoptat următoarea definiție:
Algebra evenimentelor A este un set de subseturi ale spațiului de evenimente elementare pentru care sunt îndeplinite următoarele condiții:
Sigma - algebra de evenimente F este un set de subseturi ale spațiului de evenimente elementare pentru care sunt îndeplinite următoarele condiții:
și pentru orice secvență de numărare
În mod evident, orice sigma-algebra este o algebră, dar nu și invers.
Kolmogorov a arătat că modelul matematic natural pentru un set de evenimente este un sigma-algebră.
Un exemplu evident al sigma-algebră este mulțimea tuturor subseturi de spațiu evenimente elementare - este cel mai înalt sigma-algebra, este posibil, în spațiul dat de evenimente elementare.
Cel mai mic (banal) Sigma-algebra este următorul set de subseturi
Dacă A sau sigma-algebra cuprinde A. un eveniment, atunci acesta trebuie să conțină o negare A. Prin urmare, numărul minim de subseturi de algebra sigma netrivială este 4.
Algebră și sigma-algebra denote Bold alfabetul latin Italic.
evenimente aleatoare
Element sigma-algebra va fi numit un eveniment aleator în viitor.
Evenimente În mod colectiv exhaustive
În mod colectiv evenimente exhaustive este grupul plin de subseturi, fiecare dintre acestea este un eveniment. Ei spun că evenimentele din grupa completă este o partiție a spațiului de evenimente elementare.
funcție de aditiv finit
Să algebră A-. Funcția. algebra care arată un set de numere reale
numitul aditiv finit dacă pentru orice set finit de evenimente reciproc exclusive
Funcția numărabil aditiv
Fie F - algebra sau sigma-algebra. funcție
numit numărabil aditiv în cazul în care este aditiv și pentru orice număr finit set numărabilă de evenimente reciproc exclusive
Măsura - este o funcție non-negativ numărabil aditiv definit pe un Sigma-algebră satisface
Măsura de bază
Măsura se numește finit, dacă
probabilitate
Probabilitate (măsura probabilitate) P este o măsură a acestei. că
Din acest punct ne vom opri măsurarea procentului de probabilitate și să înceapă să măsoare numerele sale reale între 0 și 1.
Când scrieți P imaginat întotdeauna un spațiu de evenimente elementare și sigma-algebra pe care le avem în minte. Apoi, puteți evita multe greșeli
Simbolul P (probabilitate) pentru probabilitatea este un standard, nu doar să uităm că de la sine (fără a defini spațiul de evenimente elementare și sigma algebra) probabilitatea nu este determinată.
numit probabilitatea evenimentului A
spațiu de probabilitate
Un spațiu de probabilitate este un set de trei obiecte - spațiu al rezultatelor elementare, sigma-algebra și evenimente de probabilitate.
Acesta este un model matematic al unui fenomen aleatoriu sau un obiect.
Paradoxul determinării spațiului de probabilitate
Să ne întoarcem la formularea inițială a problemei teoriei probabilității. Scopul nostru a fost de a crea un model matematic al unui fenomen aleatoriu, ceea ce ar contribui la cuantificarea probabilității de evenimente aleatoare. În același timp, este necesar să se stabilească probabilitatea, adică pentru construirea unui spațiu de probabilitate Se pare a fi exact ceea ce căutăm (?).
Rezoluția acestui paradox este că, pentru o definiție completă a probabilității ca o funcție a tuturor elementelor F, este de obicei suficient pentru a defini doar pe unele dintre evenimentele din F, probabilitatea pe care le putem identifica cu ușurință și apoi, profitând de aditivitate sale numărabil, calculată pe orice element al lui F.
evenimente independente
Un concept important în teoria probabilităților este independenta.
Evenimentele A și B se numesc independente dacă
și anume probabilitatea punerii în aplicare simultană a acestor evenimente este produsul probabilităților lor.
Evenimentele din setul numărabil sau finit de perechi se numesc independente dacă fiecare pereche de ei este o pereche de evenimente independente
Luate împreună,
Evenimentele din setul numărabil sau finit numit independent în agregat. în cazul în care probabilitatea punerii în aplicare simultană a oricărui subset finit de ele este egală cu produsul probabilităților evenimentelor din acest subgrup.
Este clar că perechile de evenimente independente în mod colectiv și independente. Reciproca nu este adevărat.
probabilitate condiționată
Probabilitatea condiționată a evenimentului A în condițiile în care a avut loc un eveniment B este cantitatea
În timp ce probabilitatea condițională este definită numai pentru evenimentul B, probabilitatea de care nu este zero.
Dacă evenimentele A și B sunt independente,
Proprietăți și teoreme
Cea mai simplă probabilitate proprietăți
Acest lucru rezultă din faptul că A și non-A și opusă proprietățile aditivitatea probabilitate finală
Evenimente aleatoare, evenimente de algebră. Definiția clasică a probabilității. Aplicarea la determinarea elementelor de probabilități combinatorii. probabilitate geometrică.
spațiu de probabilitate ca un model matematic al experimentului cu rezultate aleatorii. Frecvența evenimentelor, proprietățile sale. Stabilitatea frecvența reală a evenimentelor aleatoare.
Să considerăm un experiment care se termină cu unul dintre numeroasele rezultate. Putem descrie toate rezultatele posibile, dar ce anume rezultatul va încheia un experiment în avans, nu putem spune.
Teoria probabilităților - știința legilor fenomenelor aleatoare de masă (Laplace, Poisson, Gauss, Bernoulli, Chebyshev, AM Lyapunov, AA Markov, AN
Astfel, un anumit rezultat experimental pot fi obținute cu diferite grade de capacitate. Aceasta este, în unele cazuri, putem spune că un singur eveniment se întâmplă aproape sigur mai practic decât oricând.
Răspunsul la această întrebare este util din acest punct de vedere. Să ne cunoaștem distribuția de variabile aleatoare independente X1, X2, ..., Xn. Cum de a găsi distribuția X1 suma + ... + Xn?