1.2. Concepte de bază ale teoriei probabilității elementare
Subiectul teoriei probabilității. stabilitate statistică.
Teoria probabilităților studiază legile care apar în experimente aleatorii (fenomene). experiment aleator este numit, ceea ce este imposibil de prezis rezultatul în avans. Incapacitatea de a anticipa în avans # 151; principalul lucru care distinge fenomen aleatoriu prin determinist.
Nu toate evenimentele aleatorii (experimente) pot fi studiate prin metodele teoriei probabilității, ci numai acelea care pot fi reproduse în aceleași condiții și au (clar ca verificabil în prealabil :-)) proprietatea „stabilitate statistică“: dacă # 151; un eveniment care poate sau nu poate să apară ca rezultat al experimentului, proporția numărului de experimente în care a avut loc evenimentul, tinde să se stabilizeze odată cu creșterea numărului total de experimentale se apropie de un anumit număr. Acest număr este obiectivul caracteristic „gradul de oportunitate“, un eveniment să aibă loc.
În viitor, toate experimentele aleatorii, din care vom vorbi vor avea proprietatea de stabilitate statistică pe care noi, în cele din urmă se dovedesc afirmația cunoscută sub numele de legea numerelor mari Bernoulli.
spațiu evenimente elementare. evenimente manipulau
Space evenimente elementare ( „omega“) este un set care conține toate rezultatele posibile ale experimentului aleator, în experimentul de care este exact una. Elementele acestui set sunt numite evenimente elementare și notate cu litera ( „omega“), cu sau fără subscript.
Evenimentele vor fi numite subseturi. Se spune că, ca urmare a experimentului a existat un eveniment, dacă a existat un experiment de rezultate elementare incluse în set.
În general vorbind, este posibil să se numească evenimentele nu sunt neapărat toate subgrupurile, și o multitudine de subseturi de un set. În sensul acestei limitări, vom vorbi mai târziu.
După ce a aruncat o matriță (zaruri). Modul cel mai rezonabil pentru a seta spațiul de evenimente elementare este după cum urmează: Rezultatele elementare aici reprezintă numărul de puncte a scăzut.
Exemple de evenimente: # 151; a scăzut unul sau două puncte; # 151; Acesta a scăzut la un număr impar de puncte.
De două ori a aruncat-o matriță (zaruri). Sau ce este același lucru, odată aruncat în cele două zaruri. După cum vom vedea mai târziu, este modul cel mai sensibil pentru a seta spațiul de evenimente elementare # 151; a considerat rezultatul unui experiment pereche ordonată de numere, în care () este numărul de puncte care a căzut pe primul (a doua) amestecati:
# 151; prima tragerea la sorti a scăzut cu un punct;
# 151; la două aruncări a scăzut același număr de puncte.
Pe suprafața mesei pentru a arunca o monedă. Coordonata centrul monedei poate fi considerată rezultatul experimentului (și, dacă nu ne pasă de unghiul de rotație al monedei, este posibil să se adauge valoarea unghiului). Spatiul rezultatelor elementare # 151; multipunct secțiunea (în acest ultim caz # 151; o pluralitate de perechi, în cazul în care # 151; tabel și punctul # 151; unghiul de rotație). Numărul de rezultate elementare ale unui astfel de experiment este nenumărat.
Moneda este aruncat până până la căderea în sus emblema. spațiu Rezultatul constă dintr-un număr infinit, dar numărabilă rezultatelor: unde p și r reprezintă pierderi și cozi la una clatina emblema, respectiv.
1.Dostovernym numit eveniment, care are loc în mod necesar, ca urmare a experimentului, care este singurul eveniment care include fiecare singur rezultatele elementare # 151; eveniment. 2.Nevozmozhnym numit eveniment care poate să apară ca rezultat al experimentului, adică evenimentul, nu conține nici un rezultat elementar ( „set de gol“). Rețineți că întotdeauna.
lăsa # 151; evenimente. 1.Obedineniem evenimente și numit evenimentul care constă în faptul că nu a existat nici, una sau ambele evenimente în același timp. În limbajul teoriei este un set care conține ambele rezultate elementare incluse în și evenimente elementare care aparțin. evenimente 2.Peresecheniem și a numit evenimentul care constă în faptul că ambele evenimente au avut loc simultan. Adică, există un set care conține rezultatele de bază, care sunt membri ai și. evenimente 3.Dopolneniem înainte de eveniment este numit, care constă în faptul că a avut loc un eveniment, dar nu sa întâmplat. Adică, există un set care conține rezultate elementare incluse în, dar nu fac parte din. 4.Protivopolozhnym (sau complementar) la un eveniment este numit un eveniment, care constă în faptul că evenimentul în urma experimentului nu sa întâmplat. Cu alte cuvinte, există un set care conține rezultatele de bază, care nu sunt incluse în.
Definiția 5.
1. Evenimentele sunt numite incompatibile. în cazul în care. 2. Evenimentele se numesc reciproc incompatibile. dacă este cazul, și evenimente și inconsistente. 3. Se spune că evenimentul atrage un eveniment și să scrie, dacă vreodată, de îndată ce apare un eveniment și evenimentul. În limbajul teoria mulțimilor, acest lucru înseamnă că orice rezultat elementar, inclus în același timp, intră în eveniment.
Probabilitatea unui spațiu discret al rezultatelor elementare
Să presupunem că avem de-a face cu un spațiu discret de evenimente elementare, adică, spațiu, constând dintr-un număr finit sau numărabil de elemente:
Pune fiecare rezultat elementar în număr de linie, astfel încât
Ne referim la numărul de probabilitate rezultat elementar. Probabilitatea unui eveniment este numărul
egală cu suma probabilităților de evenimente elementare incluse în setul.
Mai târziu, după ce se familiarizeze cu axiomele teoriei probabilității, definim probabilitatea evenimentului în sine, mai degrabă decât în termeni de probabilități de evenimente elementare. Mai mult decât atât, că prin adăugarea unei probabilități a evenimentului pot fi obținute de probabilități elementare ale rezultatelor, constând din mai mult de un număr numărabil de evenimente elementare (altfel conceptul de însumare în sine nu este definit). Dar, în spațiul discret al rezultatelor elementare pentru a determina probabilitățile de evenimente în așa fel cum se face în definiția 6. întotdeauna posibil.
Enumerați evidentă în cazul unui spațiu discret de evenimente elementare proprietăți de probabilitate. vom dovedi în curând dreptul, în general.
5, în cazul în care și inconsistent;
6. în cazul general;
Pentru a demonstra proprietățile de mai sus, folosind definiția 6.
După cum se poate observa, probabilitatea unei funcții abstracte care satisface mai multe cerințe oneroase poate fi numit. Cu toate acestea, nevoia de „potrivire teorie, practică“, este de asemenea necesar să se gândească.
Definiția clasică a probabilității
Să presupunem că avem de-a face cu spațiul de evenimente elementare, constând dintr-un număr finit de elemente:
Mai mult decât atât, să presupunem că din orice considerente considerăm elementare rezultate la fel de posibile. Apoi, probabilitatea de oricare dintre ele trebuie să fie egală.
Aceste considerații au adesea nimic de-a face cu modelul matematic și bazat pe o anumită simetrie în experiment (moneda simetrică, se amestecă bine punte de cărți, osul corect). Sau putem verifica în prealabil considerate la fel de posibile rezultate ale experimentului, dar apoi, mai devreme sau mai târziu va avea în continuare o întrebare despre un model matematic, conform experimentului reale.
În cazul în care evenimentul este format din evenimente elementare, probabilitatea acestui eveniment este raportul dintre:
unde simbolul reprezintă numărul de elemente ale unui set finit.
Ei spun că experimentul corespunde definiției clasice de probabilitate (sau schemă probabilistic clasică), dacă spațiul este compus din evenimente elementare ale unui număr finit de rezultate la fel de posibile.
În acest caz, probabilitatea oricărui eveniment este calculată conform formulei
numita definiție clasică a probabilității. Această formulă spune: „probabilitatea unui eveniment este raportul dintre numărul de rezultate favorabile evenimentului, numărul total de rezultate.“
Este util să ne amintim formularea clasica a Yakoba Bernulli (Jacob Bernoulli).
„Probabilitatea este gradul de fiabilitate și diferă de la ea ca parte a întregului“
( «Ars Conjectandi». 1713)
Acum vedem că calcularea probabilității în schema clasică se reduce la numărarea numărului de „șanse“ (evenimente elementare), care să ducă la un eveniment, și numărul total de șanse. De obicei, acest lucru se face cu ajutorul unor formule combinatorică.
Luați în considerare descris în schema urnă secțiunea 1.1.2. Să ne amintim că este vorba despre eliminarea bile dintr-o urnă care conține bile. În acest caz, trei scheme: Intoarcerea și având în vedere ordinea, fără a lua în considerare revenirea și ordinea, precum și fără înlocuirea și fără scopul de a satisface definiția clasică a probabilității. Numărul total de evenimente elementare din aceste scheme este estimat în Teoremele 3 și 4. 2. egale, respectiv ,.
Al patrulea sistem de același # 151; selectarea de retur a circuitului și excluzând comanda # 151; Ea are în mod evident neravnovozmozhnye rezultate.
Să considerăm, de exemplu, o alegere a două bile din două sau, echivalent, flip o monedă de două ori. Având în vedere ordinea, atunci rezultatul va transforma 4, și toate sunt la fel de posibil, adică, au o probabilitate de 1/4:
(Emblem, strat), (cozi, cozi), (cozi, strat), (cozi de creastă).
În cazul în care comanda nu ia în considerare, este necesar să se anunțe rezultatul ultimele două cu același rezultat al experimentului, și a obține trei rezultate în loc de patru: cazute
două straturi de arme. sau două cozi. sau un singur strat și unul cozi.
În acest caz, primele două rezultate au probabilitate 1/4, iar ultimul # 151; probabilitate de 1/4 + 1/4 = 1/2.
Contoriza numărul de evenimente elementare din Exemplul 2 (pentru aruncarea două zaruri). Cum va spatiul de evenimente elementare, în cazul în care ordinea nu ține cont de os? Contorizarea numărul de evenimente elementare într-un astfel de spațiu (folosind Teorema 5 sau prin calcul direct). Asigurați-vă că există exact. dacă aceste rezultate sunt la fel de probabil? Se calculează probabilitatea fiecărui rezultat.
distribuție hipergeometrica
Sarcină. Dintr-o urnă în care bile albe și negre la întâmplare, fără înlocuire este scos din bile. Termenul „aleatoriu“ înseamnă că apariția oricărui set de bile la fel de probabile. Găsiți probabilitatea ca exact va fi selectat bile albe și negre.
Decizie. Rețineți că probabilitatea cerută este egală sau 0 ca un eveniment imposibil. Să.
Rezultatul experimentului este un set de bile. În acest caz, nu puteți ignora sau de a lua în considerare ordinea de bile.
1. Alegerea nici un ordin de înregistrare. Numărul total de evenimente elementare este numărul de subseturi -Element ale setului format din elemente, adică (teorema 3).
Notăm de eveniment, probabilitatea ca doriți să găsiți. Aceasta favorizează apariția oricărui eveniment set cuprinzând bile albe și negre. Numărul de succese egale cu produsul (teorema 1) numărul de moduri de a alege o bile albe și numărul de moduri de a alege bilele negre :. probabilitatea eveniment este
2. Selecția pe bază de comandă. Numărul total de evenimente elementare este numărul de modalități de a plasa elementele în domeniu (Teorema 2).
La calcularea numărului de rezultate favorabile este necesar să se ia în considerare numărul de moduri de a alege numărul corect de bile și numărul de moduri de a aranja aceste bile printre. Puteți, de exemplu, numărul de numărul de moduri de a alege locuri în rândul (egal), apoi numărul de modalități de a plasa pe aceste locuri bile albe (egale # 151; nu uita despre menținerea ordinii!), și apoi numărul de moduri de a plasa pe zonele rămase bile negre (egale). Multiplicarea (de ce?) Aceste numere, obținem
În problema luate în considerare, am comparat fiecare set de bile albe și negre probabilitatea de a obține acest set atunci când aleg bile dintr-o urnă care conține bile albe și negre:
Conformitatea, sau următorul set de probabilități
Se numește distribuția hipergeometrică.