Probleme de compilare pentru studenții de anul 3
A.G.Alenitsyn, A.S.Blagoveschensky, M.A.Lyalinov, V.V.Suhanov
Universitatea St.-Petersburg State Facultatea de Fizică
Această colecție de probleme și exerciții de material care acoperă pentru lecții practice cu privire la fizica matematică. Ea rezumă experiența acumulată de către angajații Departamentului de Matematică și matematică Fizică, Departamentul de Fizică a Universității București. Aproximativ jumătate din colecția de sarcini nu sunt originale, ele sunt luate din cărți celebre de probleme (L.I.Volkovyskogo, G.L.Luntsa și I.G.Aramanovicha; N.M.Gyuntera și R.O.Kuzmina; M.A.Evgrafova; V.S.Vladimirova), link-uri la care nu sunt afișate. De asemenea, materialele folosite din manualul „Ghidul pentru instruire practică la rata fizicii matematice“, scrise de personalul departamentului. Selectarea sarcinilor și succesiunea lor corespunde cursului „Metode matematice ale fizicii“, citit la Departamentul de Fizica al Universității din București, în primul și al doilea semestru al treilea an.
Colecția este destinată studenților și profesorilor de la facultățile fizice și fizico-matematice ale universităților și a altor instituții de învățământ superior.
1.1 Funcții regulate neechivoce
1.1.1 Numere complexe
Numere complexe - o pereche de numere reale (a, b). Înregistrarea unui număr complex z în formă algebrică: z = a + bi, în cazul în care o - parte reală. b - partea imaginară a lui z, i - unitatea imaginară. notație standard: a = Re z, b = Im z. Două numere complexe sunt egale în cazul în care acestea sunt, respectiv, părțile reale și imaginare. Un număr complex cu o parte de zero imaginar, adică a + 0i, este identificat cu numărul real a.
Însumați numerele complexe z 1 = a 1 + b 1 i și z 2 = a 2 + b 2 i dat de formula z 1 + z 2 = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i, produsul - formula z 1 z 2 = (a 1 a 2 - b 1, b 2) + (a 1 b 2 + b 1 a 2) i. În particular, i 2 = -1.
Pentru un complex număr z = a + bi numere de a - bi este un conjugat. este notat z.
Modulul unui număr complex: | z | 2 = a 2 + b ≥ 0. Evident, z · z = | z | 2 = a 2 + b 2. Divizare
număr la numărul z 1 z 2 se realizează prin înmulțirea numărătorul și numitorul fracției z 1 de numărul,
Un număr z complex = x + iy este reprezentată în planul x, y punctul cu coordonatele (x, y). Distanța dintre cele două puncte z și z este egal cu 0 | z -z 0 |. număr complex z = x + iy este posibil să se compare vectorul raza unui punct (x, y). Unghiul dintre pozitiv pe jumătate axa Ox și vectorul raza se numește un argument al unui număr complex. Atunci când unghiul de numărătoare inversă în sens antiorar este pozitiv în sensul acelor de ceasornic - negativ. Argumentul unui număr complex nu este egal cu zero, este determinată până la un număr întreg de rotații complete, în jurul originii, adică, 2πn, n Z.
Pentru argumentul z notație utilizat arg z.
1.20. Pentru a investiga comportamentul funcțiilor păcatului z, tg, z sh cu y → ± ∞.
1.1.2 Condiții de Cauchy-Riemann
Vecinătate a z 0 z avionul este numit un cerc cu un centru la acest punct. Funcția f (z), având un derivat într-o vecinătate a lui z 0. numit regulat. sau olomorfie. Funcția în acest cartier.
Fie f (z) = u (x, y) + iv (x, y), unde u (x, y) și v (x, y) - functie reala diferențiabilă în vecinătatea punctului D z 0. Pentru funcția de regularitate f ( z) în D este necesar și suficient ca în această
vecinătate îndeplinesc condițiile ecuațiilor Cauchy-Riemann.
Termeni și condiții () pot fi scrise într-o altă formă. Dacă luăm în considerare că x = (z + z) / 2, y = (z - z) / (2i) și înlocui aceste expresii în u (x, y) + iv (x, y), obținem o funcție f, care depinde, în general, de la z și z. Cauchy-Riemann condiții sunt echivalente cu acest fapt f este independent de z, adică că
Setul de puncte pe un plan se numește deschis. în cazul în care fiecare punct poate fi setat pentru a înconjura un cartier, toate punctele care aparțin setului. Un set de deschis este numit conectat. în cazul în care oricare două dintre punctele sale pot fi unite printr-un spart, toate ale căror puncte aparțin setului. Set conectat Open este numit domeniu. În cazul în care zona se află în interiorul unui cerc, se spune să fie mărginită. în caz contrar - infinit. sau nelimitat. Funcția având derivatul în toate punctele din regiune se numește regulată (sau olomorfă) în această regiune.
1.21. Utilizarea Cauchy- Riemann examinează regularitatea funcțiilor: a) z 2; b) z -1; în) Z | Z |; g) x 2 - y 2 - 3 2 y + y 3 + i (2xy + x 3 - 3xy 2);
d) e z; e) cos z + (cos z).
1.22. Pentru a demonstra Teorema: Fie funcția f (z) este regulat în regiunea D, situată în jumătatea superioară a Im z> 0, atunci funcția f (z) este regulat în D. D simetrică față de axa reală.
1.23. Dovedeste formula:
f 0 (z) = ∂ ∂ u x - i ∂ ∂ u y = ∂ ∂ y v + i ∂ ∂ x v.
1.24. Să presupunem că funcția f (z) este regulat în regiune D și derivatul său este zero la toate punctele din zonă. Demonstrati ca f (z) ≡ const.
1.25. Condiții record Cauchy-Riemann în coordonate polare.
1.26. Fie funcția f (z) este regulat în D. Demonstrati că, dacă una dintre funcțiile:
u (x, y) = Re f (z), v (x, y) = Im f (z),
ρ (x, y) = | f (z) |, φ (x, y) = arg f (z),
Acesta menține constantă valoarea D, și f (z) ≡ const.
Să o parte reală u (x, y) a unei funcții f regulate (z). Știind u (x, y), puteți găsi v (x, y) - partea imaginară a funcției, și, astfel, real funcția f (z). Aceasta este, de condițiile în virtutea KoshiRimana, funcția diferențială v (x, y) este egal cu dV (x, y) = -U 0 y (x, y) dx + u 0 x (x, y) dy. Găsiți funcția
Acum, f (z) este cunoscut în intervalul axei reale: f (x) ≡ u (x, 0) + i v (x, 0). Această identitate se extinde în complex prin simpla înlocuire x la z, adică f (z) = u (z, 0) + i v (z, 0).
Notă. Pentru a funcționa u (x, y) are partea reală sau imaginară a unei funcții regulate în D, este necesar și suficient ca are o armonică. și anume Ecuația de două ori continuu diferențiabilă și satisfăcătoare lui Laplace 00 u xx + u yy = 00 0.
In probleme 1.27-1.30 restabilirea functiei regulate f (z) în conformitate cu o funcție predeterminată:
1.27. a) Re f = x 2 - y 2 + x, f (0) = 0; b) Im f = x 2 + x y 2.
1.28. Re f = e x (x cos y - y păcat y) + 2 sin x sh y + x 3 - 3xy 2 + y. 1,29. Im f = ln (x 2 + y 2) + x - 2y. 1.30. | F | = (X 2 + y 2) e x.
In probleme de 1,31 și 1,32 determina dacă a spus tipul de funcții armonice există și în cazul existenței - căutare pentru ei, precum și corespunzător funcției periodice f (z) = u + iv.
1.31. a) u = ψ (x); b) u = ψ (ax + by), unde a și b - sunt numere reale.
1.32. a) u = ψ (x 2 + y 2); b) u = ψ (x y); a) u = ψ (x 2 + y).
1.33. Găsiți funcții regulate, de-a lungul Po-, care își păstrează fiecare linie a acestei familii
stativ valoare: partea reală (1) sau modulul (2), sau un argument (3): a) y = Cx; b) x 2 + y 2 = Cx; a) xy = C.
1.1.3 rândurile Stepennye“. serie Taylor
O serie de alimentare are forma P c n (z - a) n. Fiecare serie de putere are o rază de convergență
R și cercul de convergență | Z - A | Suma unei serii de putere S (z) este o funcție obișnuită în cercul de convergență. În cadrul cercului de convergență a unei serii de puteri pot fi integrate pe termen de termen și pe termen diferențiată pe termen. Raza de convergență a seriei de putere pot fi găsite prin formulele Un mod regulat în cercul | z - a | și această descompunere este unic. De fapt, raza de convergenta a seriei Taylor este egală cu distanța de la un punct la cel mai apropiat punct singular funcția (vezi. De asemenea, secțiunea „serie Laurent si puncte singulare ale funcției“). Pentru extinderea seriei de putere sunt adesea utile ca urmare a extinderii „de bază“ (Un cerc de convergență a acestora): = 1 + z + z 2 +. + Z n +.articole similare