§ 12. Proprietățile funcțiilor regulate 93
Din Teorema 2 și p. 7 urmează § 3
Corolar 5. Funcția armonică într-un infinit, infinit derivabile.
3. Condiții de regularitate suficiente. Teorema 1 validată este că o condiție suficientă în regularitatea D / (z) este funcția este diferențiabilă. Ras ceas alte condiții suficiente.
Teorema 3 (Morera teorema). Lăsați funcția / (z) este continuă în domeniul D conectat și lăsați integralei funcției-tsiif (z) nu orice contur închis situată în D, este egală cu zero. Apoi, funcția f (z) este regulat în regiunea D.
Dovada. Prin corolar 3 § 9 Funcția f (z) are un primitiv, t. E. Există o funcție diferențiabilă F (z) astfel încât F „(z) == f (z) pentru toți D. ze Potrivit theo-reme 1, funcția F (z) este regulat în regiunea d, și, prin urmare, derivatul său în funcția regulate d, adică. e. funcția / (z) == == F „(z) este regulat în regiunea D.
Teorema 4 (prima teorema Veyerpgtrassa). Să funktsiifn [z) (n = 1, 2) sunt regulate în D, și lăsați seria
uniform în fiecare regiune închisă situată în D. Apoi, funcția / (z) este regulat în D.
Dovada. Să Zo - Roundups punct arbitrar-D STI Luați în considerare cercul K: LZ-Zol <б, лежащий вместе со своей границей в области D. По условию, ряд (9) равномерно сходится в К, а значит, и в К. Кроме того, функции /n(z) (п == = 1, 2. ) регулярны и, следовательно, непрерывны в К. По-этому функция /(z) непрерывна в К как сумма равномерно схо-дящегося ряда, составленного из непрерывных функций.
Fie „f - orice contur închis situată într-un cerc K. Integrarea pe termen lung prin termenul converge uniform pentru a avea un număr de (9), obținem
f / (z) dz = I J / „(z) dz. "= I"
Potrivit lui Cauchy Teorema integral / n (z) riz == 0 (n = 1, 2) și,
T v deci,) / (z) dz = 0. Teorema funcției Morera
/ (Z) este regulat în K și în special la Zy. Deoarece punctul Zo-arbitrar în zona D, funcția / (z) este regulat în regiunea D. teorema.
94 GL. II. REGULATE CARACTERISTICI
Teorema 5 (a doua teorema Weierstrass). În condițiile seriei teorema anterioară (9) poate fi pe termen diferențiere prin termenul ment orice număr de ori. S-a obținut în această serie converg în mod uniform în fiecare regiune D închisă situată în oblastiD.
Ne limităm la formularea celei de a doua teoremă Weyer Straße (dovada conține, de exemplu, în. [11]).
Alte condiții de regularitate suficiente referitoare la integralele în funcție de un parametru, se va acorda în § 15.
În concluzie, p. 3 oferă un scurt rezumat al proprietăților de bază ale funcțiilor regulate. Rețineți că, împreună cu termenul „caracteristică obișnuită“ în literatura de specialitate, folosind alți termeni equi valent:
Criteriile (necesare și suficiente condiții> funcție regulat-f sti (z) în D:
1) Funcția diferențiabilă / (z) în D;
2) Cauchy - Riemann.
condiție suficientă regularitate funcția / (z) în D dă teorema Morera și prima teorema Weierstrass. Proprietățile funcțiilor regulate:
1) suma, diferența, produs funcții regulate / (z) și g „(z), precum și coeficientul lor (cu g (z) ^ O) superpoziție și NE-lyayutsya funcții obișnuite;
2) o funcție regulată este infinit diferențiabilă;
3) pentru funcția regulată a integral theo-Rem Cauchy și formula integrală a lui Cauchy;
4) primitiv zona singulara conectat într-o funcție regulat-TION regulate.
4. Unele metode de descompunere într-o serie de putere. Fiecare funcție / (z), în mod regulat cercul | z A |<р, разлагается в сходящийся в этом круге (см. следствие 3 из теоремы 1) сте-пенной ряд