Ne-am ocupat deja cu funcția exponențială în articol dedicat ei. și Următorul nostru obiectiv este de a deveni logaritmul natural.
În definiția manual matematică logaritmului natural este că nu există nimic „natural“, nu are naturală: este definit ca funcția inversă e x. țara este deja în sine.
Deci, iată o nouă explicație simplificată: logaritm natural - timpul necesar pentru a crește până la un anumit nivel.
Imaginați-vă că ați făcut o investiție urșii Gummi (și care face asta?) 100% pe an, cu rentabilitate continuă. Dacă se urmărește un obiectiv de a realiza o creștere de zece ori contribuția prevăzută „dobânda compusă.“ va trebui să aștepte doar o ln (10) = 2,3 ani. Nu poți înțelege de ce ai nevoie doar de câțiva ani pentru a realiza o creștere de 10x? Nu înțeleg de ce secvența este 1, 2, 4, 8? Citiți despre numărul e.
Numărul e și logaritm natural - gemeni:
- e x - nivelul realizat în continuă creștere pe o anumită perioadă de timp.
- logaritmul natural (ln) - perioada de timp. necesară pentru creșterea la un anumit nivel.
Nu-i rău, nu? In timp ce matematica ridica cuvintele pentru a vă oferi o incurcatura lung cu siguranta, sa aruncam o privire mai atentă la acest simplu și clar.
Numărul e este creșterea
Numărul e este o creștere continuă. Așa cum am văzut în ultimul exemplu, e x ne permite să conectați un procent și de timp: 3 ani, cu o creștere de 100%, este la fel ca 1 an la temperatura de 300%, sub rezerva „compus de interes.“
Puteți înlocui orice procentaj de valoare și de timp (50% peste 4 ani), dar este mai bine să se stabilească procentul să fie de 100% pentru comoditate (este de 100%, timp de 2 ani). Datorită trecerii la 100%, ne putem concentra doar pe componenta de timp:
e x = e * procentul de timp = e 1,0 * timp = e timp
Evident, ceea ce înseamnă că e x:
- cum să crească contribuția mea prin unitățile x timp (presupunând o creștere continuă de 100%).
- de exemplu, 3 perioadă de timp I a lua în e 3 = 20.08 de ori mai multe „gadgeturi“.
e x - este un factor de scalare care indică nivelul la care ne dezvoltăm pentru sloturi x timp.
Logaritmul natural este timpul
logaritmul natural - acest număr inversiune e, un termen fantezie pentru a indica contrariul. Vorbind de ciudățenii; în limba latină este numit logarithmus naturali. a venit aici și ln abrevierea.
Și această inversare sau contrastul înseamnă?
- e x ne permite să înlocuiască timp și de a obține o creștere.
- ln (x), ne permite să ia creșterea sau a veniturilor și să cunoască timpul necesar să-l obțină.
- e 3 este egal cu 20.08. Trei durata de timp vom avea 20.08 ori mai mult decât ceea ce am început.
- ln (20,08) este de aproximativ 3. Dacă sunteți interesat în creștere de 20.08 ori, veți avea nevoie de 3 de timp (din nou, cu condiția sută la sută creștere continuă).
Încă de lectură? Acesta indică logaritmul natural al timpului necesar pentru a ajunge la nivelul dorit.
Această cheltuială jurnal personalizat
Ai fost logaritmi - este o creatură ciudată. Cum au rândul său, în plus față de multiplicare? O diviziune în scăderea? Să vedem.
Ceea ce este egal cu ln (1)? Intuitiv, întrebarea este: cât de mult trebuie să așteptați pentru a ajunge la 1 ori mai mult decât ceea ce am?
Zero. Zero. Deloc. Ai deja o dată. Ea nu are nevoie de nici un moment la nivelul 1 la nivelul 1 dorosti.
Ei bine, ce putem spune despre valoarea fracționară? Câți vom avea 1/2 din cantitatea disponibilă? Știm că dintr-o creștere continuă pe deplin a ln (2) înseamnă timpul necesar pentru dublarea. Dacă ne întoarcem înapoi ceasul (de exemplu, așteptați pentru o sumă negativă de timp), vom obține jumătate din ceea ce avem.
Este logic, nu? Dacă ne întoarcem înapoi (ceasul) la 0,693 secunde, vom găsi jumătate din cantitatea disponibilă. În general, se poate transforma rola și să ia o valoare negativă: ln (1/3) = -ln (3) = -1.09. Acest lucru înseamnă că, dacă ne întoarcem în trecut de 1,09 lungimi de timp, vom găsi doar o treime din numărul curent.
Bine, ce zici logaritmul unui număr negativ? Cât timp este necesar pentru a „creste“ o colonie de bacterii 1--3?
Asta e imposibil! Nu se poate obține un număr negativ de bacterii, nu-i așa? Puteți obține cele mai multe (uh. Minim) zero, dar nu se poate obține un număr negativ al acestor creaturi mici. În bacterii negative, inclusiv pur și simplu nu are sens.
- ln (negativ) = necunoscut
„Nedefinită“ înseamnă că nu există o astfel de perioadă de timp pe care le-ar trebui să aștepte pentru a obține o valoare negativă.
Logaritmică de multiplicare - trebuie doar să țipe
Cât timp este creșterea de patru ori? Desigur, puteți lua doar ln (4). Dar este prea ușor, vom merge în altă parte.
Acesta poate fi reprezentat ca o creștere de patru ori în dublarea (necesitând ln (2) unități de timp), și apoi re-dublare (care necesită mai ln (2) unități de timp):
- Timp de 4 creștere a = ln (4) = E timpul să se dubleze și apoi din nou, dublat = ln (2) + ln (2)
E interesant. Orice rată de creștere, să zicem 20, poate fi privit ca dublare imediat după o creștere de 10 ori. Sau o creștere de 4 ori, și apoi de 5 ori. Sau, triplarea, și apoi crește la 6,666 ori. Nu vedeți un model?
Logaritmul A, înmulțit cu B, are un log (A) + log (B). Această atitudine este în același timp are sens, în cazul în care datele în termeni de creștere.
Dacă sunteți interesat de o creștere de 30 de ori, puteți aștepta ln (30) la un du-te, sau altceva așteptați ln (3) Pentru triplarea, și chiar și atunci ln (10) pentru udesyatireniya. Rezultatul final este același, astfel încât cursul de timp ar trebui să rămână constante (și încă este).
Ce zici de divizia? În special, ln (5/3) înseamnă cât timp este nevoie să crească de 5 ori, iar apoi a obține 1/3 din ea?
Excelent, în creștere de 5 ori au ln (5). Factorul de creștere 1/3 ia -ln (3) unități de timp. Astfel,
Aceste lucruri înseamnă: să crească de 5 ori, iar apoi „du-te înapoi în timp“, până la punctul în cazul în care nu va fi doar o treime din această sumă, astfel încât veți avea o înălțime de 5/3. În general, se pare
Sper că logaritmii aritmetice ciudate încep să ia pentru tine de a sens: ratele de creștere de multiplicare devine adăugarea de unități de timp de creștere și diviziune a scăderii este convertită în unități de timp. Nu este nevoie să memoreze regulile, încercați să le înțeleagă.
Folosind o creștere logaritm natural arbitrar
- Desigur, - spune - totul e bine, în cazul în care o creștere de 100%, iar în cazul de 5% pe care le primesc "?
Nici o problemă. „Timpul“, pe care așteptăm cu nerăbdare să folosind ln (), este de fapt o combinație de rată a dobânzii și timp, un X din ecuația e x. Tocmai ne-am decis să se stabilească ca un procent de 100% pentru simplitate, dar suntem liberi să folosească orice numere.
Să presupunem că dorim să obținem o creștere de 30 de ori: ia ln (30) și de a obține 3.4 Acest lucru înseamnă:
Evident, această ecuație este „100% randament de peste 3,4 ani, dând naștere la 30 de ori.“ Putem scrie această ecuație în forma:
- e x = e rate * Timp
- e 100% * 3,4 = 30 ani
Putem schimba valoarea „rata“ și „timp“ în cazul în care doar rata * de timp a fost de 3,4. De exemplu, dacă ne interesează o creștere de 30 de ori - cât de mult va trebui să aștepte la o rată a dobânzii de 5%?
- ln (30) = 3,4
- * Rata de timp = 3,4
- 0.05 * 3.4 = timpul
- time = 3,4 / 0,05 = 68 ani
Am motivat astfel: „ln (30) = 3,4, apoi la o creștere de 100% ar dura 3,4 ani dacă voi dubla rata de creștere, timpul necesar este redus la jumătate.“.
- 100% pentru 3,4 ani = 1,0 * 3,4 = 3,4
- 200% pentru 1,7 ani = 2,0 * 1,7 = 3,4 [creștere de 200% înseamnă mai puțin timp în jumătate]
- 50% timp de 6,8 ani = 0,5 * 6,8 = 3,4 [50% creștere înseamnă că va dura de 2 ori mai mult timp]
- 5% pentru 68 de ani = .05 * 68 = 3,4 [5% de creștere înseamnă că va dura mai mult de 20 de ori].
E grozav, nu? Logaritm natural poate fi folosit cu orice valori ale ratei dobânzii și timpul, ca produsul lor rămâne constantă. Puteți muta valorile variabilelor după cum doriți.
exemplu Otpad: Regula șaptezeci și doi
Regula șaptezeci-doi - o tehnica de matematica, care vă permite să estimeze cât timp va lua pentru a obține banii dublat. Acum vom obține (da!), Și mai mult, vom încerca să înțelegem esența sa.
Cât timp va dura pentru a dubla banii la o rată de 100%, în creștere în fiecare an?
Op-pa. Am folosit logaritmul natural al cauzei, cu o creștere continuă, iar acum conduce un discurs cu privire la angajamente anuale? Nu ar fi această formulă nu este potrivit pentru un astfel de caz? Da, ar fi, dar pentru ratele reale ale dobânzilor, cum ar fi 5%, 6% sau chiar 15%, diferența dintre dobânda anuală acumulată și creșterea continuă va fi mic. Deci, o estimare aproximativă a lucrărilor, mm aproximativ, așa că ne prefacem că avem o compunere complet continuă.
Acum, întrebarea este simplu: Cât de repede se poate dubla cu o creștere de 100%? ln (2) = 0,693. Ar trebui să fie 0,693 unități de timp (ani - în cazul nostru) pentru a dubla valoarea creșterii noastre continue de 100%.
Deci, ce se întâmplă dacă rata dobânzii - nu 100%, dar să zicem, 5% sau 10%?
Simplu! Având în vedere că rata * = 0,693 timp, vom dubla suma de:
- * Rata de timp = 0,693
- time = 0,693 / rata
Deci, în cazul în care creșterea de 10%, ar lua 0,693 / 0,10 = 6.93 ani să se dubleze.
Pentru a simplifica calculele, să se multiplice ambele părți cu 100, atunci va fi posibil să spunem „10“, mai degrabă decât „0.10“:
- Timpul de dublare = 69,3 / rata în care rata este exprimat ca procent.
Acum, rândul său, să se dubleze la o rată de 5%, 69,3 / 5 = 13.86 ani. Cu toate acestea, 69,3 - nu dividendul cel mai convenabil. Să alegem cel mai apropiat număr de 72, care este convenabil de a împărți cu 2, 3, 4, 6, 8 și alte figuri.
- Timpul de dublare pe = 72 / rata
și că este regula de șaptezeci-două. Toate hush hush.
Dacă aveți nevoie pentru a găsi timp pentru a tripla, puteți folosi ln (3)
109,8 și de a primi
- triplare timp = 110 / rata
Ceea ce este o altă regulă utilă. „Articolul 72“ se aplică creșterea ratelor dobânzilor, creșterea populației, culturi bacteriene, și tot ce este în creștere exponențial.
Ce urmează?
Din fericire, logaritm natural este acum pentru tine a capatat sens - se arată timpul necesar pentru creșterea oricăruia dintre creșterea exponențială. Cred că este numit natural, pentru că e - o măsură universală a creșterii, astfel încât ln poate fi considerat un mod universal pentru a determina cât de mult timp este necesar pentru creștere.
De fiecare dată când vedeți ln (x), amintiți-vă „timpul necesar să crească în vremuri X“. Într-un articol viitor, voi descrie e și ln în tandem, astfel încât aroma proaspătă de matematică este umplut cu aer.
Supliment: logaritmul natural e
Quick Quiz: Cât de mult este ln (e)?
- Matematica robotului spun, deoarece acestea sunt definite ca inversul unul de altul, este evident că ln (e) = 1.
- Persoana de înțelegere: ln (e) numărul de timp să crească în „e“ de ori (aproximativ 2,718). Cu toate acestea, numărul e în sine este o măsură de creștere de 1 ori, astfel încât ln (e) = 1.