în cazul în care - este o constantă (nu în funcție). Dacă abordarea inițială luată suficient de aproape de rădăcină. atunci putem lua.
Rețineți că, în comparație cu evaluarea globală a metodei iterative
constantă este înlocuită cu metoda lui Newton în evaluare (9.2) pe marimea tinde la 0; prin urmare, rata ridicată de convergență.
rata de convergență iterație care este dată de (9.2), se numește pătratică. Rata de convergență pătratică este despre a spune că numărul de caractere corecte într-o valoare aproximativă se dublează cu fiecare iterație. De fapt, în cazul în care. și. atunci. Acest lucru înseamnă că numărul de cifre corecte în tranziția la apropierea următoare a crescut cu. adică dublat.
Sensul geometric al metodei lui Newton este că, la fiecare pas vom construi tangenta la graficul de la punctul următoarei aproximări succesive. și pentru apropierea următoare vom lua punctul de intersecție al acestei tangenta cu axa. Astfel, panta liniei este ajustată la fiecare pas bine (deoarece curbura graficului legat de al doilea derivat, nu contează, deci nu se știe în ce direcție se abate de la linia tangentă).
Fig. 9. 13 Aproximarea secvență a metodei lui Newton
Rețineți că ideea diferită a metodei lui Newton putem descrie acest lucru: la fiecare pas vom rezolva locul aproximativă a ecuației inițiale, ecuația liniarizat la punctul
în partea stângă - este de ordinul Taylor funcția polinomială la punctul. care este o funcție liniară
Soluția de rezolvare a ecuației liniarizat este următoarea apropiere. în timp ce soluția exactă a ecuației inițiale este rădăcina dorită.
Exemplul 9. 7 Solve Newton toate aceeași ecuație. luând ca aproximare inițială și setarea precizie (aceeași care a fost luată în rezolvarea acestei ecuații de o tangentă). Deoarece. formula iterativa metodei lui Newton este după cum urmează:
Aplicând această formulă, vom găsi succesiv:
acest lucru cu precizie. După cum putem vedea, valoarea root cu precizia dorită a fost obținută în etapa a treia. (A patra etapă a fost necesară pentru a fi în măsură să se asigure că precizia dorită apreciem opriri în schimbare.)
Exercitiul 2 9. Localizați aceeași rădăcină, începând cu. (Rețineți că formula de repetare, în același timp, nu este necesar să se schimbe, în contrast cu metoda de o tangenta.) Cât de multe iterații necesare pentru a atinge aceeași precizie? Rețineți că o primă aproximație (e) va fi chiar și în afara intervalului. dar apoi converg rapid spre aceeași parte, care, în exemplul.
Răspuns: Este nevoie de 6 iterații.