poliedre regulate și semiregulate
Sumar îndeplinit: Gileva Maria, 10 de clasa "B", Școala 41
poliedre corecte și semi-regulate (solide platonice si arhimedice)
poliedru regulată este numit un poliedru convex a cărei fețe - poligoane regulate egale, iar unghiurile diedre la toate nodurile sunt egale. Este dovedit faptul că, în fiecare dintre vârfurile unui poliedru regulat converg același număr de fețe, și același număr de muchii.
Totul în natură, există cinci poliedre regulate. Comparativ cu numărul de poligoane regulate este - foarte puțin: pentru fiecare număr întreg n> 2, există un mod regulat-gon n, adică poligoane regulate - sunt infinit de multe. poliedre regulate sunt denumite în funcție de numărul de fețe: tetraedru (patru fețe): hexaedre (6 fețe), octaedru (opt fețe), dodecaedrul (12 fețe) și icosaedru (20 fațete). În limba greacă „Hedronn“ înseamnă față „tetra-“, „hexa“, etc - .. Numărul de fețe menționat. Nu este greu de ghicit că hexaedru nu este nimic altceva ca cubul familiar. Fețele tetraedru, octaedru și icosaedru - triunghiuri echilaterale, cubul - pătrate, dodecaedrul - pentagoane regulate.
Dacă notăm numărul de unghiuri de la o față a unui poliedru regulat al q, precum și numărul de fețe reuniți la un vârf - este p, puteți obține caracteristicile exacte ale fiecărui poliedru regulat. Aici ei sunt (primul număr - q, al doilea - p): (3, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 5), (5, 3). In acest caz, un cub și un octaedru, precum și în icosaedru și dodecaedru, numărul p și q sunt, așa cum au fost transpuse. Aceste poliedre sunt numite dublă. Tetraedru considerat dublă pentru sine. În dublă poliedre același număr de nervuri.
poliedre regulate simetrice. Acest lucru înseamnă că, pentru orice muchie arbitrar selectat AB și fețele adiacente F, puteți roti poliedru care comutatorul de margine AB orice alta decât punctul său de margine CD A - în oricare dintre capătul său (C sau D), iar fața F va coincide una dintre cele două fețe alăturate. Aceste posibile rotații - toate auto-coincidențele acolo 4P, unde P - numărul de muchii ale unui poliedru. Astfel, jumătate dintre ei - rotații în jurul axei imaginare care leagă centrul poliedrului cu vârfuri sale, margini și fețe mediane pe unghiuri care sunt multipli respectiv 2 / q, și 2 / p, iar cealaltă jumătate - planurile de simetrie și „rotațiile oglindă “. Se specifică „proprietate maximă simetrie“ este uneori considerată definiția unui poliedru regulat. Dar omul departe de matematică, este dificil să ne imaginăm un corp geometric cu această definiție.
Iogann Kepler numit cub „mamă“ a tuturor poliedre regulate. Pe baza cubului, el a fost capabil să construiască toate celelalte poliedre regulate.
Dacă vom trage în fețele opuse ale oblic diagonala cub, capetele lor vor fi vârfurile tetraedrul, octoedrul și partea de sus - este centrul cubului. Poligoanele rezultate sunt într-adevăr corecte, ca partea lor - triunghiuri drepte. Egalitatea unghiurilor diedre rezultă din faptul că, atunci când porniți poliedrului margine cub poate fi tradus în orice altă.
Pentru a construi un icosaedru, pe fiecare față a cubului pentru a construi segmentul x lungime (atâta timp cât acesta este - orice lungime), astfel încât să fie paralelă cu cele două laturi ale feței sale și este perpendicular pe aceleași segmente pe fețele adiacente. Mijlocul trebuie să coincidă cu centrul feței. Conectați capetele segmentelor între ele, și obținem icosahedron ale căror fețe - triunghiuri, și fiecare dintre primele cinci lor. Am găsit un număr x, sau că toate marginile poliedrului sunt egale, adică. E. Este corect. pentru că simetrică Cubic, atunci toate marginile care nu aparțin fețele cubului sunt egale. Să presupunem lungimea cubului margine a. Luați în considerare triunghiul ABC (Fig. 2), unde AC = o-x, BC2 = CD2 + BD2 = 1 / 4a2 + 1 / 4x2. Prin teorema lui Pitagora obținem: AB2 = AC2 + CB2 = (x2 + a2 + (a-x) 2) / 4.
Echivalând la AB x, obținem ecuația de gradul doi: x2 + ax-a2 = 0, unde x = a (5-1) / 2. Interesant, factorul obținut atunci când un, adică raportul dintre marginea cub icosaedru margine înscrisă în ea - .. Nu că altul decât raportul de aur.
Demonstrăm acum unghiurile diedre. Luați în considerare cinci coaste, pornind de la punctul A. Capetele tuturor și echidistant față de punctul A, iar centrul cubului O. Acest lucru implică faptul că ele se află la intersecția a două sfere cu centrele A și O, și, prin urmare - la circumferința, și aripioarele care conecteaza le cu punctul A, egal. Prin urmare, aceste cinci puncte și punctul a - vertex corespunzătoare a piramidei și unghiurile diedre la egal apex.
Dodecaedru din icosaedru pot fi obținute precum și un octaedru dintr-un cub. conectarea la mijlocul fețele adiacente ale icosaedru, obținem pentagonală pravilngy. Toate aceste pentagoane este 12. Unghiurile diedre ale poligonului vor fi egale, ca și unghiurile triunghiulare la nodurile sale au unghiuri egale plane.
poliedre regulate sunt, de asemenea, numite solide platonice, deși ele au fost cunoscute de secole înainte de Platon. Într-unul dintre dialogurile sale, Platon legate de poligoane regulate cu patru elemente. Tetraedru corespunde focului, cubul - pământul, octaedru - aer, icosaedru - apa. Dodecaedru corespund al cincilea element - eter.
Așa-numita poliedre semi-regulat asociat cu numele lui Arhimede. Acest organism 13 obținut prin trunchierea poliedre regulate și două serii nesfârșite de prisme regulate și antiprisms cu aripioare egale.
În om de știință renascentist Iogann Kepler după Platon a încercat să se conecteze poliedre regulate cu structura universului. Cu o precizie mai mare sau mai mică, el a plasat între sfere care conțin șase planete pe orbita cunoscute poliedre regulate în așa fel încât fiecare a fost descrisă la aproximativ înscrisă în sfera și mai mare. Dar numele lui Kepler în geometria deschiderii faima a două dintre cele patru corpuri regulate stele. Ceilalți doi din 1809 a găsit francezul Lui Puanso.
Fig. 1 poliedre regulate
Tetraedru Cube octoedrului Dodecadron icosahedron
Figura 2 Primirea poliedre regulate a cubului
Fig. 3 corp Arhimede format dintr-un icosahedron
Fig. 4 Unul dintre corpurile stele