unde x (0) - o primă aproximare la rădăcină.
Se presupune că f „(x) ≠ 0 în intervalul [a, b].
Derivarea geometrică.
k Geometric, procesul iterativ al metodei lui Newton este substituit iterația -lea a graficului y = f (x) pe tangenta la funcția în punctul (x (k). F (x (k))) (în legătură cu această metodă este uneori numită metoda tangentei). Ecuația tangentă este
y = f „(x (k)) (x-x (k)) + f (x (k)) Am găsit punctul de intersecție cu axa OX a tangenta (în locul funcției y = f (x)), ceea ce corespunde găsirea de soluții ale ecuației liniare:
în schimb f neliniare (x) = 0.
O derivație analitică.
Convergența metodei lui Newton.
Pentru a investiga convergența metodei lui Newton am rescrie ca un caz special al metodei de simplu iterație condiții suficiente pentru convergență care sunt deja cunoscute. Avem:
Verificați pentru următoarea condiție de convergență a metodei de simplu teorema iteratie:
În cazul metodei lui Newton, avem:
Fie X rădăcină a ecuației f (x) = 0 are o multitudine de p ≥ 1. Apoi, într-un cartier suficient de mică din rădăcină X au reprezentarea:
Exemplul 2.2 construi proces iterativ Newton pentru a găsi rădăcinile ecuației f (x) ≡x 2 - a = 0, unde a> 0 (rețineți că soluția acestei ecuații este echivalentă cu luarea rădăcina pătrată a unui număr pozitiv arbitrar a).
Formula generală a metodei lui Newton, în acest caz, ia forma:
Metoda lui Newton pentru un sistem de două ecuații.
Să considerăm un sistem de două ecuații
Soluții de sistem pentru algoritmul este dat de metoda lui Newton:
Sarcina 2.1 Afișarea reprezentarea coordonate a metodei lui Newton.
2.4 NOTĂ închidere criteriu proces iterativ lui Newton pentru calcularea sistemului radicular de ecuații cu o precizie # 101; poate fi: