1. divizibilitatea numere întregi. proprietăți divizibilitate. Teorema privind diviziunea cu rest
Definiția. Să - numere întregi. Se spune că numărul este divizibil cu dacă pot fi reprezentate sub forma în care - număr întreg.
În caz contrar: - divizor.
Să - numere întregi, - este simplu.
1. În cazul în care egalitatea a două numere sunt împărțite în, iar al treilea numărul este divizibil cu.
4. În cazul în care există orice, fie.
Exemplu. Dovedește că, dacă și, atunci.
(A + b + c) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2 (ab + ac + bc) \ Rightarrow2 (ab + ac + bc) \ vdots m, \\
4 (ab + bc + ac) ^ 2 = 4 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) + 8abc (a + b + c),
\ End "title =" \ începe
(A + b + c) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2 (ab + ac + bc) \ Rightarrow2 (ab + ac + bc) \ vdots m, \\
4 (ab + bc + ac) ^ 2 = 4 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) + 8abc (a + b + c),
\ End "style =" vertical-align: -20px; frontieră: none; „/>
de unde
2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) \ vdots m, \\
a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ = a ^ 4 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2-2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2)
\ Rightarrow \\
o ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 \ vdots m.
\ End "title =" \ începe
2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2) \ vdots m, \\
a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ = a ^ 4 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2-2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^ 2)
\ Rightarrow \\
o ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 \ vdots m.
\ End "style =" vertical-align: -33px; frontieră: none; „/>
Teorema. Orice număr întreg reprezentat singura modalitate de a forma printr-o egalitate varietate, în care: - întregi. Numărul este numit privat - restul împărțirii de către.
Exemplu. Acesta poate fi împărțit în numărul și când împărțit la randamentul reziduului?
Decizie. Numerele divizibile cu 8, sunt de formă și atunci când divizat prin acordarea unui reziduu - formular. Luați în considerare toate reziduurile Împărțite N.O.K. . Împărțit în numărul de specii, și nici unul dintre ei în diviziunea prin faptul că nu a da în echilibru.
2. Comparații și proprietățile lor
Definiția. Să - numere întregi - un număr natural. Se spune că comparabil cu modulo, dacă este împărțită acestea dau același rest.
Teorema. comparabil cu modulo dacă și numai dacă.
Exercitarea. Ce reziduuri pot da pătrate de numere întregi, atunci când împărțit; cuburi de numere întregi, atunci când împărțit pe?
Exemplu. Dovedește că, dacă - prim,
Decizie. Prin ipoteză. Apoi, din moment ce
rămâne să dovedească faptul că al doilea factor este împărțit în.
Prin urmare, obținem rezultatul dorit.
3. Teorema lui Euler și a lui Fermat
Teorema (Farm). Dacă și simplu nu se divide, atunci
Teorema (Euler). Pentru orice numere naturale sunt relativ prim, și este executată
Corolar. Să presupunem, GCD . Apoi.
Exemplu. Dovedește că, dacă, atunci.
Același lucru pentru ambele. - numărul de pairwise relativ prim.
4. Exemple de soluții de ecuații neliniare
1. Să se rezolve ecuația în numere întregi pozitive
Decizie. Extindem partea stângă a ecuației asupra factorilor:
Reprezentat ca un produs a doi factori naturali în toate modurile posibile:
Egalăm unul dintre factorii pe cel stâng, celălalt - cealaltă. Rezolvăm sistemul rezultat. Posibila simplificare: aici numărul și aceeași paritate.
Notă. Când caută soluții întregi ar fi, de asemenea, luate în considerare de expansiune, etc.
2. Rezolvați în numere întregi ecuația
Decizie. Factoringul nu este descompus. pune-l:
Atunci când un întreg va fi, de asemenea, un număr întreg, în cazul în care este posibil, la.
3. Demonstrați că ecuația nu are soluții întregi.
Decizie. Comparațiile modulo: care este imposibil, deoarece pătratele întregi atunci când împărțit de resturile pot produce fie sau.
Teorema. Numărul - simplu dacă și numai în cazul în care congruența
Exemplu (Teorema Leibniz). Dovedește că numărul este prim dacă și numai dacă, atunci când
Decizie. Prin teorema lui Wilson - un simplu
1. Localizați restul divizării
a) ultima cifră a numărului;
b) ultimele două cifre ale numărului.
3. Dovedește (fără calculator) care urmează numărul de componente:
4. Dovedește că, în secvența de acolo pătrate de numere întregi.
5.a) Atunci când orice valori naturale divizibile cu?
b) să demonstreze că este divizibil cu dacă și numai dacă numărul este divizibil cu.
6. Rezolva ecuația în numere întregi:
7. Să - număr întreg. fie împărțit?
8. 44 copaci dispuse circumferențial, 44 au fost canar veselă (fiecare copac - prin chizhu). Din când în când doi scatiu migrează simultan copaci vecine în direcții diferite (una - sensul acelor de ceasornic, iar celălalt - împotriva). Demonstrati ca Piggy nu va fi în măsură să se întâlnească pe același copac.
9. Demonstrați că ecuația
Ea nu are soluții întregi.
10. Să numerele - simplu. Demonstrați că
în cazul în care același lucru - simplu, demonstrează că
11. Un număr întreg pozitiv. Dovedește că suma tuturor divizori pozitive (inclusiv), este, de asemenea, împărțit în.
12. Găsiți restul numărului diviziunii la porțiunea întreagă.
13. Găsiți toate soluțiile ecuației
în numere naturale.