Definiție 1: f (x) funcția se numește continuă în intervalul (a, b). în cazul în care este continuă în fiecare punct al intervalului.
Definiție 2: O funcție f (x) se numește continuă pe intervalul [a; b], în cazul în care este continuă în fiecare punct al intervalului (a, b), și continuă la dreapta și la stânga, la punctul b.
Fiecare funcție elementară este continuă pe domeniul său.
Teorema 2: (teorema I Bolzano Cauchy) Fie funcția f (x) este continua pe intervalul [a; b] și la punctele finale are valori de semne diferite. Apoi, există un punct cu Î(A, b), în care f (c) = 0.
Sensul său geometric: o curbă continuă în tranziția de la o jumătate de plan, care este limita de axa Ox. cealaltă traversează această axă.
Sensul său geometric: o funcție continuă f (x) atunci când merge de la o valoare la alta și ia toate valorile intermediare.
Corolar: Dacă funcția f (x) este definit și continuă la un X. interval apoi setați valorile Y reprezintă, de asemenea, un anumit interval.
Definiție 3: f funcție (x) se numește mărginită pe [a; b], în cazul în care există un număr N> 0 astfel încât pentru orice x Î[A; b] inegalitatea | f (x) | £ M.
Teorema 4: (I Weierstrass teorema) Dacă funcția f (x) este definit și continue pe intervalul [a; b], este limitată în acest interval.
Notă: pentru intervalul (a, b) teorema este falsă.
Definiție 4: exact superior (inferior) legat funcția f (x), definit la Kh este cea mai mică (cea mai mare) din partea superioară (inferior) se confruntă delimitând Y de mai sus (mai jos).
Teorema 5: (II Weierstrass teorema) Dacă funcția f (x) este continua pe intervalul [a; b], atunci este de până la acest punct, în marginile lor precise, adică, există puncte x1. x2 Î[A; b] astfel încât
Notă: înainte de a putea intra în definiția:
Definiție 5: exact superior (inferior) legat de funcția f (x) se numește (minim) valoarea maximă a funcției pe intervalul.
Teorema 5: (II Weierstrass teorema) funcție continuă la intervalul pe acest segment are valori maxime și minime.
Teorema 6 (funcție inversă a continuității) Fie funcția y = f (x) este definit strict monotonă și continuă pentru un anumit interval de timp, și lăsați X Y - multe dintre valorile. Apoi, pe platourile Y funcția inversă x = j (y) este lipsit de ambiguitate, este strict monoton și continuu.
Să presupunem că la un anumit interval X este definit funcția y = f (x). Ia orice punct x0 ÎX și să definească argumentul x la x0 arbitrare Ax increment astfel încât Ax + punctul x0 și aparține X. Funcția primește increment DN = f (x0 + Ax) -f (x0).
Definiție 1: Derivata funcției y = f (x) la x0 este limita la ®0 Dx raportul funcției increment la acest punct la incrementarea argumentul (cu condiția să existe această limită).
semnificația geometrică a derivatului. Lăsați funcția y = f (x) este definit pe intervalul (a. B) și lăsați punctul M de pe graficul funcției corespunde valorii x0 argument. și punctul F - valoarea x0 + Ax. Prin linia punctelor M și P și numesc tăiat. Notăm j (Dx) și unghiul care se intersectează între direcția pozitivă a axei Ox. În mod evident, acest lucru depinde de unghiul de Dx.
În cazul în care există. linia cu k = panta tgj0. care trece prin punctul M (x0; f (x0)) apel poziție la intersectându MR Dx ®0 (sau P ®M) limitativă.
Definiție 2: S tangentă la graficul funcției y = f (x) la punctul M este o poziție limită la intersectându MR Dx ®0 (sau P ®M).
Astfel, derivata funcției y = f (x) la x0 este egală cu panta tangentei la graficul funcției y = f (x) la punctul M (x0; f (x0)) și egal cu panta tangentei la direcția pozitivă a axei x.
Sensul fizic al derivatului. Să presupunem că funcția y = f (x) descrie legea de mișcare a unui punct M de pe linia dreaptă r. E. Y = f (x) este o cale traversat de punctul M din punct de referință în timp x.
Dy / raportul Dx numit viteza medie (Vav) în timpul Dx. și limita raportului Dy / Dx Dx ®0 determină dacă viteza instantanee a punctului de timp când x0 (vmgn).
Definiție 3: Funcția y = f (x) se numește diferențiabilă la x0. dacă Dy sale incrementat la acest punct poate fi reprezentat ca Dx Dy = A + a (Dx) Dx,
unde A - un număr care este independent de Ax. și (Dx) - funcția toporului argument. Este infinitezimal când Dx ®0, r. F .. Este dovedit faptul că A = f ¢ (x0).
Vom stabili o legătură între funcțiile derivabile într-un punct și existența derivatului în același punct.
Teorema 1: Pentru y = functiona f (x) să fie derivabila x0. Este necesar și suficient ca acesta să aibă în acest moment un derivat finit.
Astfel, pentru funcțiile derivabile ale unei variabile și existența derivatului - echivalent cu conceptul. Prin urmare, găsirea operațiunea derivat este adesea numit diferențiere.
Teorema 2: Dacă funcția y = f (x) este diferențiabilă în punctul x0. atunci este continuă, în acest moment.
Notă. Reciproca nu este adevărat. Funcția poate fi continuă la punct, dar să nu fie diferențiabilă, t. E. Nu au derivat de la punctul.