vector nenul unui spațiu liniar peste câmp se numește un vector propriu al unui operator liniar. în cazul în care există un număr. că
Numărul de ecuații (15.10) se numește valoare proprie. vectorii proprii corespunzătoare.
Cu alte cuvinte, un vector propriu al unui operator liniar este un vector nenul al unui spațiu liniar. care este coliniare cu imaginea sa, atunci când operatorul.
Proprietățile vectorilor. 1. Fiecare eigenvector corespunde unei singure valori proprii.
2. Vectorii proprii cu valori proprii distincte sunt liniar independente.
3. Orice non-zero vector coliniare. Vectori proprii ca valoare proprie, și cu aceeași valoare proprie.
4. Nu este egal cu vectorul zero, o combinație liniară a vectorilor proprii cu aceeași valoare proprie și un vector propriu, și cu aceeași valoare proprie.
5. Setul tuturor vectorilor proprii unui operator liniar cu aceeași valoare proprie cu vectorul zero, este un subspațiu al unui spațiu liniar. Acest subspațiu va fi numit eigenspace operatorului și etichetare.
Exemplu. 15.27. Să - vectorii proprii ale unui operator liniar cu valori proprii distincte, și - nenulă număr. Demonstrați că vectorul nu este propria lor (a se compara cu proprietatea 4).
# 8710; Și reprezintă - valorile proprii ale operatorului liniar. vectorii proprii corespunzătoare și, respectiv. Să presupunem că vectorul este, de asemenea, un vector propriu al operatorului. și să-l - propria lui importanță. atunci
[Vectori - propria lor]
În virtutea independenței liniare a vectorilor proprii cu valori proprii distincte, ultima egalitate implică faptul că. . Deoarece numărul și diferit de zero, atunci. . Prin urmare. și avem o contradicție. ▲
Exemplu. 15.28. Denote - spațiu liniar de funcții, și un număr infinit de ori derivabile continuu pe linia real, - operator diferențial care atribuie fiecăruia dintre derivatul funcției (adică), - operatorul identitate. Arătați că funcția este o funcție privată ca un operator liniar. și un operator liniar. întrucât un eigenfunction al unui operator liniar. dar va exista un operator privat.
# 8710; Cheltuielile direct prin definiție:
Lăsați un spațiu finit, adică, . Dacă - matricea unui operator liniar în unele baze, - coordonate coloană eigenvector în aceeași bază, ecuația (1) este echivalentă cu
Exemplu. 15.29. În unele matrice operator de bază liniară are un spațiu tridimensional. Verificați care dintre vectorii. și sunt vectori proprii ale acestui operator și specifica propriile lor valori.
# 8710; Pentru fiecare dintre predeterminate vectorii de selectare condiție (15.11):
Notăm matricea unui operator liniar în unele baze de spațiu liniar. - coordonează vectorii coloană în aceeași bază.
Polinomul caracteristic al unui operator liniar și matricea sa este un polinom. ecuație
Se numește ecuația caracteristică a operatorului și matricea sa, și rădăcinile acestei ecuații - numerele lor caracteristice.
Dacă - un spațiu liniar peste câmp. - un operator liniar, atunci următoarele afirmații sunt adevărate:
a) Valorile proprii ale operatorului liniar sunt numerele sale caracteristice care aparțin domeniului. și numai acestea;
b) pentru fiecare nenuli soluții coloane de valori proprii ale sistemului omogen de ecuații liniare
coordonate coloanele sunt vectorii proprii. eigenvalue corespunzătoare;
Regula pentru identificarea vectorilor proprii într-un spațiu finit. 1. Noi formează ecuația caracteristică (15,12) a matricei și de a găsi rădăcinile. Cei care aparțin domeniului. sunt valori proprii.
2. Pentru fiecare gasit propria lor valoare este vectorul propriu corespunzător rezolvarea unui sistem omogen de ecuații liniare (15,13), cu condiția.
Note. 1. Pentru orice sistem omogen pătrat degenerate liniar ecuația (), un set ordonat format din cofactori a elementelor unui rând al matricei este soluția la acest sistem (a se vedea dovada. De exemplu, în []).
2. Ecuația caracteristică a unui operator liniar în spațiul vectorial n-dimensional este gradul -tuyu, și, în general, nu există nici o formulă pentru decizia sa. Prin urmare, polinomul caracteristic este oportun să factor încă de stadiul său de calcul. De exemplu, în calcularea determinantului al treilea ordin ar trebui să acorde o atenție la elementele identificate în (15.14), în același mod:
Aplicarea transformărilor elementare în primul rând la coloanele matricei, iar al doilea - la rândul său și să se asigure că unul dintre cele două elemente, în același mod notat se anulează. În acest caz, ar trebui să fie selectate șase dintre modificările propuse, după care elementele nenuli într-un rând convertit sau coloană au un factor comun. Dacă nici unul dintre aceste transformări nu dau rezultatul dorit, este necesar să se calculeze determinantul în nici un fel, și apoi găsi rădăcinile oricare dintre metodele cunoscute ale școlii.
Exemplu. 15.30. Găsiți vectorii proprii ai unui operator liniar. care în unele baze V3 spațiu real liniar are o matrice
# 8710; Găsim polinomul caracteristic. Constatând săgețile aplicate transformări elementare:
Acest polinom are rădăcini. Toate acestea sunt valabile, astfel încât toate sunt valorile proprii. Pentru fiecare dintre valorile proprii găsi vectorii proprii, rezolvarea unui sistem omogen cu matricea:
a). . Noi rezolva sistemul de eliminare a necunoscute, care simplifică matricea sa utilizând transformări elementare doar rândurile. Ca urmare, fiecare acțiune obținem matricea sistemului, echivalent cu originalul, astfel încât între dies va fi un semn de echivalare:
necunoscutele de bază din urmă de sistem, puteți selecta prima și a treia, iar al doilea va fi liber. Apoi soluția generală ia forma :. Dacă pui. atunci vom obține mulțimea tuturor vectorilor proprii cu valoare proprie. . sau. în cazul în care. .
Metoda de eliminare a necunoscutelor pentru a rezolva sistemul în acest caz este bun, deoarece vă permite să găsiți rapid o greșeală în cazul unei constatări incorecte a valorilor proprii, dacă este găsit greșit, atunci sistemul va avea doar o soluție banală. Dacă sunteți sigur de corectitudinea calculelor sale, în cazul valorilor proprii simple pentru a rezolva sistemul, desigur, mai convenabil pe baza observațiilor 1. în acest caz. ca cei trei nu poate fi în alegerea (determinantul este egal cu zero), și unul - datorită faptului că nu există linii proporționale. Prin urmare. Aceasta înseamnă că toate aceste valori proprii cu vectorii proprii sunt coliniare unele cu altele. Dacă vom găsi una dintre ele, pentru toate celelalte se va multiplica de către orice număr de zero.
Împărțind ultimul rând al matricei (15.14) pentru patru pentru a reduce numerele pe care sistemul nu va schimba decizia și pentru a găsi una dintre soluțiile folosind cofactori ale elementelor de primă linie:
c) Vom proceda la fel ca în cazul precedent (cofactori din nou la prima linie):
Exemplu. 15.31. Găsiți vectorii proprii ai unui operator liniar. care în unele baze V3 spațiu real liniar are o matrice
# 8710; Găsim polinomul caracteristic al matricei A:
Acest polinom are următoarele rădăcini: multiplicitatea două și. Ambele sunt valabile, astfel încât cele două sunt valorile proprii. Pentru fiecare dintre valorile proprii găsi vectorii proprii, rezolvarea unui sistem omogen cu matricea:
Rangul matricei este de două ,. Unul dintre vectorii caracteristici pot fi găsite folosind cofactori, de exemplu, elementele de primă linie :. . . .
Rangul matricei este din nou egal cu doi ,. Unul dintre vectorii caracteristici pot fi găsite folosind cofactori, de exemplu, elementele de primă linie :. . . . ▲
Exemplu. 15.32. Găsiți vectorii proprii ai unui operator liniar. care în unele baze V3 spațiu real liniar are o matrice
# 8710; Polinomul caracteristic:
Acest polinom are o rădăcină de multiplicitate 2 și. care va valori proprii. Găsiți vectorii proprii:
Metoda cofactori în acest caz nu da rezultatul dorit: un set ordonat de cofactori a elementelor de orice linie va fi banal, deoarece acestea sunt proporționale. Rezolvăm sistemul în mod obișnuit: de la talpa ecuației sale independente dă. Punerea. Noi primim. . în cazul în care. .
Exemplu. 15.33. Găsiți vectorii proprii ai unui operator liniar. care într-un spațiu complex vectorial V3 bază este matricea
# 8710; Noi alcătuiesc polinomul caracteristic:
Ecuația caracteristică a operatorului este de forma
va fi numere caracteristice. Deoarece operatorul liniar acționează într-un spațiu complex, atunci toate rădăcinile sale caracteristice sunt și valorile proprii. Ne găsim vectorii proprii.
matrice sistem Omogen este rezolvată cu un astfel :. oral Cu aceste valori proprii vectori proprii sunt după cum urmează :. . .
Deoarece toate valorile proprii ale unei multiplicitate, atunci toate propriile sale subspatii sunt unidimensionale, astfel încât fiecare dintre ele este suficientă pentru a găsi unul care eigenvector se poate face cu cofactori. Să ne alege, de exemplu, cofactori la elemente din primul rând al matricei :. . .
Avem o matrice, conjugata complexă a celui anterior. Prin urmare, soluțiile sistemelor cu aceste matrice - conjugat prea complex, astfel ▲
Exemplu. 15.34. În spațiul de polinoame de gradul doi dat operator liniar. Găsiți (funcțiile proprii) ale vectorilor proprii operatorului și valorile proprii corespunzătoare.
(La calcularea integralele, următoarele proprietăți: integralei unei funcții ciudat decalaj simetric este zero integralei unei funcții chiar și pentru intervalul simetric egal cu dublul integralei aceeași din jumătatea dreaptă a funcției interval). În cazul în care - o funcție privată, pentru unii. și anume,
Ecuația (15.16) ar trebui să fie considerate ca funcții egale, atunci este valabil pentru orice. Acest lucru este posibil, dacă și numai dacă coeficienții gradelor respective ale aceleiași variabile. Obținem un sistem de ecuații
Există două cazuri:
a). Apoi. . Înseamnă. O astfel de caracteristică este. și toate celelalte ea proporțional.
b). Dacă atunci. atunci. și vice-versa. În acest caz. contrar definiției propriului vector. În cazul în care. apoi împărțirea prima ecuație de a doua găsim. și anume . Când vom ajunge. ; când avem. (Proporțional cu restul).
Doilea mod. Noi scriem matricea unui operator liniar în baza (vezi Exemplul 15.11.):
(Toate celelalte funcții ale ei proporțional);
(Proporțional cu restul);
(Proporțional cu restul). ▲