geometria proiectivă
Acesta a fost mult timp portretizat în picturile din perspectiva artiștilor cu ajutorul unor linii încrucișate la orizont. Una dintre marile scene din istoria geometriei a început atunci când matematicianul francez și arhitectul G. Desargues (1593-1662) a decis să dea acestor idei artiști sensul matematic precis. El a propus să adauge la obișnuite puncte finale ale planului sunt puncte suplimentare la infinit, în cazul în care liniile paralele se intersectează. Punctele de la infinit sunt numite necorespunzătoare sau ideală, pentru a le distinge de punctele reale. Dar apoi Desargues numit cât mai curând posibil, să uite această distincție, argumentând că numai poate fi utilizat prin luarea în considerare a punctelor infinit îndepărtate.
Cât de multe puncte la infinit pentru a fi adăugate la planul? Ar fi firesc să presupunem că toate liniile paralele se intersectează reciproc la un moment dat la infinit, și trebuie să adăugați la punctele de aceste linii. Cel mai important lucru a fost să cred că toate aceste puncte sunt pentru diferite direcții drepte pentru a umple o linie la infinit, care se află pe orizont artiști picturi. Avionul rezultat se numește extins sau proiectiv.
În geometria euclidiană, poziția relativă a punctelor și a liniilor este reglementată prin două declarații: două puncte diferite, trece printr-o linie unică și două linii distincte sau se intersectează într-un singur punct, sau sunt paralele. Pe plan extins, aceste afirmații devin mai ușor pentru că oricare două linii se intersectează acolo, și diferitele proprietăți ale liniilor paralele sunt transformate în cazuri particulare de acuzații de linii intersectate. Să presupunem, de exemplu, avem două puncte: unul - cel final, iar cealaltă - infinit. Pentru a seta suficient pentru a indica orice directă, care face parte (toate liniile paralele se intersectează). Apoi, afirmația că prin și trece, și, mai mult decât atât, singura directă, echivalentă cu cea într-un punct exterior, există o linie paralelă unică. Să ne uităm la câteva astfel de situații, este ușor de a face, este foarte convenabil să-și asume paralelismul evenimentului de trecere privat.
În aceste argumente, am împărțit puternic puncte finite și infinite. Pentru a șterge aceste diferențe, ofertele Desargues argumentează după cum urmează. Diferite planuri în spațiu tridimensional ca imagini sunt percepute în același plan, iar imaginile de pe aceste planuri sunt comparate cu proiecția centrală. Și anume, un punct fix în spațiu (Figura 1); punct în planul și în planul considerat a corespunde unul de altul (imagini ale aceluiași punct de pe diferite „scene“), în cazul în care și se află pe o linie dreaptă care trece prin. Deci, dacă există o anumită cifră, punctele Lo sunt conectate cu linii drepte, iar aceste linii de intersecție cu planul de gând să cifra corespunzătoare (numită proiecție centrală pe punctul de a figurii). Acest tip de transformare a cifrelor au apărut deja mai devreme în construcția de imagini.
„Ideea principală a acestei geometrie pura sa născut din dorința artiștilor Renașterii de a crea un“ vizual „geometrie. Cum stau lucrurile în realitate și modul în care acestea pot fi reprezentate în planul?“. S. G. Guld
Aruncati o privire mai atentă mai îndeaproape la transformarea în curs de dezvoltare. Se poate întâmpla ca linia care unește punctul de la punctul de a fi paralelă cu planul, și ca urmare a unui punct de pe avionul nu se va potrivi nici un punct. Desargues ar lua în acest fel, atunci, acesta este punctul de la infinit pe (imaginea „plecat la infinit“). Dacă cheltui peste un plan paralel, la intersecția cu rândul său drept, care, având în vedere cele de mai sus a pus în mod natural într-o corespondență pe linia de avion la infinit. În cazul în care, pe de altă parte, țineți punct prin planul paralel, atunci când intersecția cu ajunge direct la punctul în care proiectul nu va trece nici punctele finale ale planului, și se presupune că se mută linia de la planul infinit. Astfel, potrivit Desargues, aceleași figuri sunt înfățișate în mod diferit în planuri diferite în spațiu. În special, una și aceeași linie, în același plan este adus înaintea noastră ca o infinitate, iar celălalt ca un scop. Deci, dacă nu vrem să indice unele picturi au dispărut, în timp ce alții au apărut din nimic, atunci trebuie să luăm în considerare (proiective) planul de extindere.
Pentru a face acest punct de vedere lucrării, este necesar pentru a afla modul în care diferitele imagini ale aceluiași obiect. Este clar că distorsiunea la proiecția centrală este foarte mare, dar sunt inerente în diferite imagini cel puțin unele asemănări? Mai întâi de toate rectitudinea salvat: direct în linii drepte, linii care se intersectează în care se suprapun (caz special în paralel!). Fii atent la cât de mult ar trebui să specifice excepții deja aici, nu ne aduc elemente infinit îndepărtate.
Desargues ghici Minunat a fost faptul că există situații geometrice substanțiale în care este doar intersecțiile liniilor. Teorema de mai jos, îi poartă numele. Să presupunem că pentru triunghiuri și linii drepte (Fig. 2), care leagă partea superioară și ,, și se intersectează și la un moment dat. Apoi, punctul de intersecție al părților respective (și, și, și) se află pe o linie dreaptă. Opusul este adevărat teorema. Cel mai cunoscut astăzi demonstrația teoremei lui Desargues este foarte frumos și este asociat cu trecerea la varianta sa spațială. Foarte instructiv și un mod diferit de raționament. Deoarece teorema este doar poziția reciprocă a punctelor și a liniilor care rămân în proiecție centrală, valabilitatea teoremei într-o singură imagine, apoi îl deține în orice alt. Cu alte cuvinte, este posibil să se facă o proiecție centrală, astfel încât situația a devenit deosebit de simplu. De exemplu, dacă face un punct de infinit (părțile relevante vor fi paralele), obținem o declarație elementară este ușor de dovedit, folosind similaritatea triunghiuri. Cazul general, se va obține în mod automat!
„Artiștii au nevoie de matematica a artei sale. Doctrina viitorului - este consilier, și porțile; fără ea, nimic bun nu poate fi creat în pictura. " Leonardo da Vinci
„Figura obiect - o secțiune a conului, constând dintr-o linie dreaptă trasată de la ochii artistului la diferite puncte ale obiectului ilustrat.“ S. G. Guld
Trebuie remarcat faptul că, în geometria proiectivă a conceptului de triunghi trebuie clarificat. Strict vorbind, este mai întâi necesar de toate pentru a clarifica conceptul de segment. line proiectiv ar trebui să fie gândit ca închise în prezent printr-un punct situat la infinit, și o pereche de puncte de pe linia definește două segmente (în ceea ce privește geometria euclidiană, segment și complementul său - un cuplu de raze). Ca întotdeauna, verifică corectitudinea determinării efectuate prin intermediul proiecției centrale. Este clar că, în cazul în care punctele se deplasează în, și orice punct al segmentului merge la infinit în proiectarea, switch-uri în proiectarea exteriorul segmentului, și anume Într-adevăr, segmentele și aspectul lor nu se pot distinge în geometria proiectivă. Prin urmare, cele trei puncte pe planul proiectiv (nu se află pe o linie) definesc patru triunghi. Cu toate acestea, pentru teorema lui Desargues este esențial, pentru că, de fapt prezentat doar partea de sus și de drept, care se află lateral.
Am discutat situația cu poziția relativă a punctelor și a liniilor în geometria proiectivă. Și ce despre celelalte piese? De exemplu, un cerc cu o proeminență centrală, deși nu rămâne un cerc, dar nu distorsionat „necontrolat“: ea este descris întotdeauna conica (elipsă, parabolică sau hiperbolă). geometria proiectivă a deschis o nouă eră în studiul secțiunilor conice. Una dintre primele teoreme în această direcție au dovedit B. Pascal (1623-1662), la vârsta de 16 ani: cele trei puncte de intersecție ale laturilor opuse ale hexagonului înscris într-o secțiune minciună conica pe o linie dreaptă (Figura 3). Rețineți că proiecția centrală ne permite să reducem o secțiune conica arbitrară în cazul unui cerc.
Despre munca remarcabilă G. Desargues și B. Pascal uitat pentru o jumătate de secol. Noua viață a geometriei proiective a început cu activitatea de matematicieni francezi G. Monge (1746-1818) și elevul lui J. Poncelet (1788-1867). Acum am cugetat ce elipse de obicei, se intersectează în patru puncte, iar cercul - în doar două. El a descoperit că nu observăm celelalte două puncte de intersecție, în cazul cercurilor, deoarece acestea nu sunt numai la infinit, ci și imaginar. Astfel, în geometrie apar numere complexe.
Dezvoltarea în continuare a geometriei proiective a fost faptul că geometria relației găsit, nu se schimba la proiecția centrală. A fost foarte dificil să se găsească raporturile numerice, care au această proprietate, pentru că distanțele variază semnificativ. Se pare că, dacă luăm patru puncte pe o linie dreaptă (a se vedea figura de mai sus.) Și a crea un raport de așa-numitul complex, sau dublu din cele patru puncte, atunci nu se va schimba cu proiecțiile centrale și compozițiile lor - transformări proiective (a se vedea transformări geometrice.). Nu este nevoie să se teamă că unele dintre distanțele prezentate aici pot lua valori infinite, în cazul în care este infinit în numărătorul, atunci este la numitor, și necesitatea de a conveni în mod oficial pentru a le reduce. Incrucisata raportul dintre patru puncte egal cu valoarea
care se numește dublu raport de patru linii drepte care trec printr-un singur punct (așa cum este stocat în transformare proiectivă).
Pentru fiecare concept si aprobarea geometriei proiective, care implică puncte, linii și secțiuni conice, este posibil să se construiască aprobarea dublă, în care rolul punctelor va juca un versa directă și vice, și puncte de afiliere salvate direct; în care multitudinea de puncte de o secțiune conică este set dublu de toate tangentele la o linii de secțiune conică. De exemplu, teorema lui Pascal (. Figura 3) astfel dublu Brianchon teorema (Figura 4.), Trei linii drepte care unesc vârfurile unui hexagon circumscriu o secțiune conică, se intersectează la un moment dat. Desargue configurația de 10 pixeli și 10 linii (Fig. 2) este auto-duală.
Generalizând conceptul de plan proiectiv - finit plan proiectivă spațiu tridimensional (reale și complexe) proiectivă - în zilele noastre utilizate pe scară largă în diverse domenii ale matematicii și aplicațiile sale - combinatorica, teoria curbelor algebrice și a suprafețelor.