Una dintre cele mai simple moduri de a rezolva un sistem de ecuații liniare este o tehnică bazată pe calculul determinanților (regula lui Cramer). Avantajul este acela că vă permite să efectueze imediat înregistrarea deciziei, este util mai ales în cazurile în care coeficienții nu sunt numere, ci de unii parametri. dezavantaj - calcule greoaie în cazul unui număr mare de ecuații, în afară de regula lui Cramer nu se aplică în mod direct la sistemele în care numărul de ecuații nu coincide cu numărul de necunoscute. În astfel de cazuri, se aplică de obicei Gauss.
Sistem de ecuații liniare care au același set soluții sunt numite echivalente. Evident, setul de soluții ale unui sistem liniar nu se va schimba, dacă există ecuații sunt interschimbate, sau înmulțiți o ecuație de către orice număr nenul, sau dacă adăugați o ecuație la alta.
Metoda Gauss (eliminarea secvențială a metodei necunoscute) este că, prin intermediul unor transformări elementare ale sistemului se reduce la un sistem echivalent în trepte formă. Mai întâi, utilizați x1 ecuația 1 este exclus din toate viitor sistem de ecuații. Apoi pomoschyu2 th x2 ecuație este eliminată din a treia și toate ecuațiile următoare. Acest proces, numit un curs direct Gauss. Ea durează atâta timp cât partea stângă a acestei ecuații va fi doar un singur xn necunoscut. După aceea, invers Gauss - rezolvarea acestei ecuații, găsim xn; apoi folosind această valoare din ecuație mașinei penultima xn-1, etc. Acesta din urmă este x1 din prima ecuație.
Transformarea gauss este efectuată în mod convenabil, efectuarea conversiei nu prin ecuațiile și matricele cu coeficienți lor. Să considerăm matricea:
numita matricea augmented a sistemului, deoarece în ea, cu excepția matricei de bază a sistemului, a inclus o coloană de termeni liberi. Metoda Gauss se bazează pe reducerea matricei primare a sistemului de forma triunghiulară (sau trapezoidal în cazul în care nu sunt pătrate sisteme medii) utilizând transformări șiruri elementare (!) matrice Augmented.
Exemplul 5.1. Rezolva sistemul metodei lui Gauss:
Decizie. Scriem matricea Augmented a sistemului, și folosind prima linie, atunci va reseta restul elementelor:
Obținem zerouri în a 2-a, 3 și 4 ale rânduri prima coloană:
Acum este necesar ca toate elementele din coloana a doua sub doilea rând sunt zero. Pentru a face acest lucru, înmulțiți-al doilea rând de la -4/7 și se adaugă la al treilea rând. Cu toate acestea, pentru a nu avea de a face cu fracții, vom crea unul în al 2-lea rând din coloana a doua, și numai
Acum, pentru a obține o matrice triunghiulară, este necesar să resetați elementul al patrulea rând de a treia coloană, acest lucru se poate multiplica al treilea rând pe 8/54 și adăugați-l la a patra. Cu toate acestea, pentru a nu trebui să se ocupe fracții interschimb 3 și rândul 4-a și a 3-a și coloana 4, și numai după ce va produce un element de aducere la zero specificat. Rețineți că schimbarea de locuri, variabilele corespunzătoare, iar acest lucru trebuie avut în vedere atunci când permutare a coloanelor; alte transformări elementare cu coloane (adunare și înmulțire cu un număr) nu se poate face!
matrice simplificată Ultima corespunde sistemului de ecuații echivalente cu originalul:
Prin urmare, folosind inversul metodei Gauss, descoperim x3 = -1 din a patra ecuație; a treia x4 = -2, a doua x2 = 2 si prima x1 ecuația = 1. în formă de matrice de răspuns poate fi scrisă ca
Am considerat cazul atunci când sistemul este definit, și anume atunci când există doar o singură soluție. Să vedem ce se întâmplă atunci când sistemul este în contradicție sau vagi.
Exemplul 5.2. Investigarea sistemului de metoda Gauss:
Decizie. Noi scrie și să transforme matricea augmentată a sistemului
Scrieți sistemul simplificat de ecuații:
Aici, în ultima ecuație s-a dovedit că 0 = 4, adică, contradicție. Prin urmare, sistemul nu are nici o soluție, și anume este incompatibil. à
Exemplul 5.3. Exploreaza și de a rezolva un sistem de metoda Gauss:
Decizie. Noi scrie și să transforme matricea augmentată a sistemului:
Ca urmare a reformelor, unele zerouri pentru a ajunge în ultimul rând. Aceasta înseamnă că numărul de ecuații este redus cu un singur:
Astfel, două ecuații din stânga, după simplificări și patru necunoscute, adică, două necunoscute „extra“. Să „de prisos“, sau cum se spune, variabile libere. va fi x3 și x4. atunci
Înregistrate în acest mod este denumită soluția generală. deoarece, oferind parametrii a și b sunt valori diferite, este posibil să se descrie toate soluțiile posibile ale sistemului. à