Definiția. Particulare cantități (parțiale) ale funcției serii numite funcționale
Definiția. Seria funcțională se numește convergente la punctul (x = x0), în cazul în care la această secvență convergent punct sumelor sale parțiale. Limita de secvență se numește suma seriei de la x0.
Definiția. Setul de toate valorile lui x. pentru care seria se numește domeniul de convergență al seriei.
Definiția. Mai multe este convergent uniform în intervalul [a, b], în cazul în care în mod uniform converge la acest punct în secvența sumelor parțiale ale seriei.
Teorema. (Convergență uniformă Criteriul Cauchy a) Pentru convergența uniformă a necesar și suficient ca orice număr e> 0 există un număr N (e), că pentru n> N și orice întreg p> 0, inegalitatea ar fi satisfăcută pentru toate x în intervalul [ a, b].
Teorema. (Weierstrass Simptom convergență uniformă)
(Karl Theodor Vilgelm Veyershtrass (1815-1897) - matematician german)
Seria converge uniform și, în plus, absolut pe intervalul [a, b], în cazul în care modulele membrilor săi de pe același interval nu depășește termenii corespunzători unei serii numerice convergente cu termeni pozitivi.
și anume inegalitatea :.
Ei spun, de asemenea, că, în acest caz, o serie funcțională este dominat numeric aproape.
Exemplu. Exploreaza convergența seriei.
Deci, ca întotdeauna, este evident că.
Este cunoscut faptul că un număr obschegarmonichesky când a = 3> 1 converge, apoi în conformitate cu o caracteristică a analizat seria Weierstrass converge uniform și mai mult decât atât, în orice interval.
Exemplu. Exploreaza convergența seriei.
In intervalul [-1,1] inegalitate adică pe baza seriei Weierstrass analizate converge pe acest segment, iar în intervalele (-μ, -1) È (1, μ) diverge.
Proprietățile serii uniform convergente.
1) Teorema privind suma continuității serii.
Dacă termenii seriei - continue pe intervalul [a, b] și un număr de funcții este convergent uniform, iar suma lui S (x) este o funcție continuă pe intervalul [a, b].
2) Teorema de integrare a termenului serii de termen.
convergent Uniform în intervalul [a, b] termwise poate fi integrată o serie continuă de membri pe acest segment, adică seria constând din integralelor membrilor săi peste intervalul [a, b]. converge integralei suma seriei în acest segment.
3) Teorema termenului de diferențiere pe termen lung a seriei.
Dacă numărul de membri convergente pe intervalul [a, b] este o funcție continuă cu derivați ai continue, iar seria constând din acești derivați pe acest segment converge uniform, iar seria converge uniform și pot fi diferențiate pe termen de termen.
Pe baza faptului că suma unui număr este o funcție de variabila x. Puteți produce o reprezentare a operațiunii - fie sub forma unui număr de funcții (extinderea funcției într-un rând), care este utilizat pe scară largă în integrarea, diferențierea și alte activități cu funcțiile.