2. Să considerăm acum secvența funcțiilor fn (x) = x n. n = 1, 2, în intervalul [0,1). aici, din nou
.. Adică, secvența x n> converge pe intervalul [0,1) la zero funcții:
cu toate acestea, x n = 1, și, prin urmare,
În consecință, potrivit aceluiași poluinervale lemă converg [0,1), secvența x n> nu converg ea uniform (Figura 125) .:
3. Secvență fn (x) = x n. n = 1, 2 și converge pe intervalul [0,1], dar într-o funcție discontinuă
Deoarece secvența x n> nu converg uniform pe intervalul [0,1), nu converg și uniform pe intervalul [0,1]. Acest lucru rezultă din faptul că, în cazul în care inegalitatea (31,7) nu este îndeplinită la un set X (în acest caz [0,1)), este evident că nu realizează pe nici un set care conține un X.
Secvența este considerată un alt exemplu al unei secvențe convergentă a funcțiilor continue a căror limită nu mai este o funcție continuă (primul exemplu de acest fel au fost secvența de sume parțiale (31,4)). Mai jos vom arăta că dacă avem nevoie ca secvența nu numai converg, ci converg uniform, o astfel de situație ar fi imposibilă (Teoremele 7 și 7 „).
Teorema 1 (Cauchy criteriu de convergență uniformă). Pentru a converge pe posledovatelnostfnravnomerno mnozhestveXk o anumită funcție. necesare și suficiente. că pentru orice> 0 există o astfel nomern0. că vsehxX. vsehn> n0i vsehp = 0, 1 inegalitate
În notație simbolică, această condiție este după cum urmează:
Din cauza inegalitatea | Z |
și pentru că starea (31.18) nu este îndeplinită în mod clar.
Astfel, seria (31,21) converge uniform în cerc arbitrar Kr mare raza r. dar nu converg uniform pe plan întreg C. Acest lucru înseamnă că, dacă notăm cu s (z) și sn (z), respectiv, și suma sumelor parțiale ale seriei (31,21), apoi pentru fiecare> 0 pentru un anumit cerc Kr este posibil de a alege n0 număr. că inegalitatea pentru orice n> N0 și toate zKr | s (z) - sn (z) | <. Номер n0 зависит не только от , но и от r. т. е. n0 = n0 ( ,r ), причем при неограниченном возрастании радиуса r номер n0 также неограниченно возрастает: n0 ( ,r ) = + (если бы это было не так, то ряд (31.21) сходился бы равномерно на всей комплексной плоскости), т. е. невозможно выбрать такой номер n0. чтобы при всех n> N0 inegalitatea | s (z) - sn (z) | <выполнялось для всех zC .
5. Mai multe zn. zC. converge în open disc K = z. | Z | <1> și la orice. 0
Când | Z | <1 члены ряда z n образуют убывающую геометрическую прогрессию, и поэтому z n = 1/(1 - z ). Если z = r (cos n + i sin n ), то
Asimilarea părțile reale și imaginare ale acestei ecuații, obținem
Pentru r fix. 0 articole similare