spațiu euclidian (de asemenea, spațiu Euclidian) - în sensul inițial, spațiu, ale cărui proprietăți sunt descrise de axiomele geometriei euclidiene. În acest caz, se presupune că spațiul are dimensiuni. egal cu 3.
În sensul modern, într-un sens mai general, aceasta poate însemna una dintre obiecte similare și strâns legate: finit-dimensional spațiu vectorial real R ^ n> the intrat pe ea produsul scalar definit pozitiv. un spațiu metric. corespunzând acestui spațiu vectorial. În acest articol, originalul va fi luată pentru prima definiție.
n spațiu Euclidian -dimensional este notat cu E n. ^> De asemenea, utilizat frecvent simbolul R n ^> (dacă în context este clar că spațiul are o structură euclidiană).
Definiția formală [| ]
Pentru a determina spațiul euclidian este cel mai ușor de a lua ca conceptul de bază al produsului scalar. spațiu vector este definit ca un spațiu vectorial finit dimensional peste câmp reale. vectori a căror funcție reală este setată ( # X22C5;. # X22C5; ). cu următoarele trei proprietăți:
spațiu afin. corespunzând acestui spațiu vectorial, numit un spațiu afin euclidian sau spațiu pur și simplu euclidiană [1].
spațiu EXEMPLU Euclidian - coordonate spațiu R n. ^> Compus din toate tuple de numere reale (x 1 x 2. # X2026;. x n). , X _, \ ldots, x _),> în care produsul interior determinat de formula (x. Y) = # X2211; i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + # X22EF; + X n y n. ^ X_y_ = x_y_ + x_y _ + \ cdots + x_y _.>
Lungimile și unghiurile [| ]
Definită pe spațiul produs scalar euclidian suficient pentru a introduce lungimea conceptelor geometrice și unghiul. u lungimea vectorului este definit ca >> și notate (u u.) | u |. [2] [3] Produsul pozitiv definiteness scalar asigură non-zero, lungimea vectorului este non-zero, iar la bilinearity rezultă că | o u | = | o | | u |. care este proporțională cu lungimea vectorilor proporționale.
Unghiul dintre vectorii u și v determinate prin formula # X03C6; = arccos # X2061; ((X y) |. X | | y |) ..> \ dreapta)> Din teorema lui cosinus că bidimensional spațiu euclidian (planul euclidian) definirea unghiului coincide cu comun. vectori ortogonali, ca în spațiul tridimensional poate fi determinat ca un vector, unghiul dintre care este egal cu # X03C0; 2.>.>
Cauchy - Schwarz - inegalitatea Schwarz și triunghiul [| ]
a existat un decalaj în definiția de mai sus colțului la arccos # X2061; ((X y) |. X | | y |)> \ a fost identificat drept)>, este necesar ca inegalitatea | (X y.) | x | | y | | # X2A7D; . 1> \ dreapta | \ leqslant 1.> Această inegalitate este într-adevăr îndeplinită în orice spațiu euclidian, este numit inegalitatea Cauchy - Schwarz - Schwarz. Această inegalitate, la rândul său, urmează inegalitatea triunghiului. | u + v | # X2A7D; | u | + | v |. inegalitate triunghi, cu lungimea proprietăților enumerate mai sus, înseamnă că lungimea vectorului este norma în spațiul vector, și o funcție d = (x y.) | x # X2212; y | seturi într-un spațiu structură spațiu metric Euclidian (această caracteristică este numită metrica euclidiană). În special, distanța dintre elementele (puncte) x și y coordonate spațiu R n ^> este dat de formula d (x. Y) = # X2225; x # X2212; y # X2225; = # X2211; i = 1 n (x i # X2212; y) 2., \ mathbf) = \ | \ mathbf - \ mathbf \ | = ^ (X_-y _) ^ >>>.
Proprietăți algebrice [| ]
baze ortonormală [| ]
bază ortonormală a spațiului Euclidian (vector) - aceasta este baza. constând din vectori perpendiculari reciproc ale unității normă. Bazele ortonormate sunt cele mai potrivite pentru calcul. De exemplu, produsul scalar al vectorilor cu coordonatele (a 1. un 2. # X2026;. a n), o _, \ ldots, o _)> și (b 1. b 2. # X2026;. b n), b _, \ ldots, b _)> într-o bază ortonormală poate fi calculată prin formula (a. b) = a 1 b 1 + a 2 + b 2 # X22EF; + A n b n. B_ + a_b _ + \ cdots + a_b _.> În orice spațiu euclidian există o bază ortonormală. Selectarea două baze ortonormate spații euclidiene și transferându-le una de alta într-o hartă liniară. se poate dovedi că oricare două din spațiu euclidian aceeași dimensiune sunt izomorfe (în particular, n-dimensional spațiu euclidian este izomorfă R n ^> cu produsul interior standard).
proiecția ortogonală [| ]
Vectorul este numit subspațiul ortogonale în cazul în care este perpendiculară pe toți vectorii din acest subspațiu. Proiecția ortogonală x pe subspațiul U - un vector h. U. ortogonale astfel încât x este reprezentat în forma u + h. în cazul în care u # X2208; U. Distanța dintre capetele vectorilor u și x este distanța minimă între distanțele de la capătul vectorului x la subspațiul U. proiecția ortogonală a vectorului pe subspațiul este întotdeauna acolo pentru construcția sa este suficient să se aplice metoda Gram ortogonalizarea - Schmidt ortonormală baza pentru unitate în subspațiul și acest vector. proiecție ortogonală în spații de dimensiuni mari sunt utilizate, de exemplu, în metoda celor mai mici pătrate.
spații și operatorii duble [| ]
Orice spațiu vectorial x Euclidian definește o x funcțională liniară # X2217;> în acest spațiu, definit ca x # X2217; (Y) = (x. Y). (Y) = (x, y).> Această mapare este izomorfism între spațiul Euclidian și spațiul dual [4] și le permite să fie identificat fără a compromite calcul. În special, operatorii conjugate pot fi considerate ca acționând asupra spațiului inițial, mai degrabă decât pe dublă pentru ea, și pentru a determina operatorul autoadjunct ca operatori, care coincide cu conjugatul lor. Matricea bază ortonormală este conjugat transpusa operatorului matricei operatorului inițial, iar matricea este un operator de autoadjuncți simetrică.
Mișcarea spațiului euclidian [| ]
Mișcarea spațiului euclidian - transforma-l. conservarea metrice (numite izometrie). mișcare EXEMPLU - translație paralelă cu vectorul v. Hărți punctul P la punctul p + v. Este ușor de observat că orice mișcare este o compoziție de transfer paralel și transformare păstrând fix un punct. Selectarea unui punct fix ca origine, orice astfel de mișcare poate fi tratată ca transformare ortogonală. transformări ortogonale n spațiu Euclidian -dimensional formează o O notat grup (n). Selectarea unei baze ortonormală a spațiului, acest grup poate fi reprezentat ca un grup de matrici n × n. satisfăcând Q T Q = E.> Q = E ,,> unde Q T >> - matrice transpusă și E - matricea identitate.
Exemple [| ]
Exemple ilustrative spații euclidiene sunt spații:
Mai exemplu abstract:
- spațiu polinoamelor reale p (x) de grad nu mai mare de n. produs scalar, definită ca integrală a produsului de către segmentul final (sau întreaga linie, dar scade rapid funcție de greutate, cum ar fi e # X2212; >> x 2).