Să consumator, având o anumită cantitate de fonduri, se cheltuiește pe achiziționarea de bunuri. Set de bunuri cumpărate pe baza sumei disponibile, și preferințele proprii. Un model matematic al comportamentului consumatorului este numit un model de alegere a consumatorului.
Să considerăm un set de două bunuri de consum (), unde x și y - cantitatea de prima și a doua unități de mărfuri respectiv. Coșul de consum - un punct în dreptunghiular de coordonate coordonatele sistemului xOy ().
atitudinile consumatorilor față de diferite seturi de mărfuri menționate la alegerea consumatorului.
În cazul în care fiecare set () pentru a pune consumatorul în evaluarea conformității sub forma unui set de un număr de u. vom obține u funcție de utilitate consumatorului ().
Să set preferabil set. Apoi estimarea stabilită de către consumator depășește un scor set. și anume . Fiecare utilizator are propria funcție de utilitate.
Proprietățile funcției de utilitate
1. Creșterea consumului produsului la un consum constant de cealaltă duce la creșterea funcției de utilitate:
Primele derivatele parțiale ale funcției de utilitate a consumatorului se numesc produse poleznostyamisootvetstvuyuschih limită:
- utilitatea marginală a primului produs;
- utilitatea marginală a al doilea produs.
2. Funcția de utilitate ar trebui să fie de cel puțin două ori diferențiabilă. Derivatul parțială a produsului a utilității marginale a aceleiași variabile trebuie să fie negativ, adică, utilitatea marginală scade odată cu creșterea variabilei (acest produs). Rezultă că al doilea derivatele parțiale în același argument trebuie să fie negativ, adică,
Această proprietate se numește legea utilității marginale descrescătoare.
3. A doua derivata parțială a produsului a utilității marginale a altei variabile ar trebui să fie pozitiv, adică, utilitate marginală crește cu o altă variabilă (un alt produs). Astfel,
Dacă funcția nu are nici o utilitate în problema proprietăților de alegere a consumatorului 2 și 3, cu toate acestea ea poate descrie comportamentul real al utilizatorului.
nivelul liniei de funcții de utilitate de consum sunt numite linii de indiferență.
Liniile de indiferență sunt funcții de o variabilă. Această funcție are forma:
O mulțime de linii de indiferență se numește o diagramă de linii de indiferență (Fig. 5).
Fig. 5 arată indiferență linii care au niveluri de utilitate de consum. și. Liniile de indiferență nu se ating sau se suprapun. Prin creșterea nivelului de linii de indiferență funcția de utilitate sunt deplasate spre dreapta sus. De exemplu, Fig. 11.1 inegalitate.
Fig. 5 linii indiferență
Din proprietățile de mai sus funcție de utilitate urmează linia indiferență xy sistem de coordonate este în scădere și în jos funcția convexă (concavă).
Dacă luăm în considerare funcția de utilitate diferențială atunci când se deplasează de-a lungul unui nivel de linie, se poate vedea că este egală cu zero. Acest lucru se datorează faptului că valoarea funcției nu este schimbat. Astfel,
Rezultă că
Derivata numita rată marginală de substituție a produsului din prima secundă.
Deoarece numărătorul și numitorul - valoarea pozitivă (caracteristica 1), derivata funcției indiferență este negativă, adică, Această funcție este în scădere.
Derivata a doua a funcției este găsită prin diferențierea (41):
Deoarece primul termen al numărătorului este pozitiv având în vedere proprietățile 1 și 2, funcția de utilitate, al doilea termen al numărătorului este de asemenea pozitiv având în vedere proprietățile 1 și 3, funcția de utilitate, apoi derivata a doua a funcției este indiferența valoare pozitivă. Acest lucru implică faptul că liniile de indiferență sunt convexe spre partea de jos.
Dacă te duci la infinit mici creșteri dx și dy până la capăt și sporurile. putem scrie următoarea ecuație aproximativă:
Comparând această expresie cu (41) găsim
Fracțiunea numita normă vtorym.Norma înlocuirea primul produs de înlocuire arată cum să se schimbe de-al doilea produs de consum la schimbarea consumului de prima unitate de produs. Dacă știți funcția de utilitate a ratei de substituție se calculează folosind formula (42).
Exemplu. Să presupunem că într-o lună consumă 45 de unități de produs x și 36 de unități ale produsului. Funcția de utilitate a consumatorului este dată de relația
Pentru a determina cantitatea prin care consumatorul trebuie să crească aportul de al doilea produs de la reducerea consumului primelor zece unități.
Decizie. Rate înlocuire primul produs al doilea se găsește din ecuația (42):
Atunci când reducerea consumului de produs la x 10 unități de consum produs crește la 12,5 unități. De fapt,
Astfel, rata de înlocuire indică cât de mult utilizatorul trebuie să crească (scădere) a consumului unui al doilea produs, în cazul în care se reduce consumul (crescut) al primului produs cu o valoare predeterminată.
Optimizarea funcției de utilitate
În mod firesc, clientul dorește să utilizeze ca mijloacele disponibile pentru a obține maximum de investiții a unei cantități specificate.
Alegerea consumatorului obiect numit definiție de consum a unui astfel de set de funcții de utilitate care maximizează consumatorului la o anumită constrângere bugetară. Acest set este numit optim pentru consumator sau echilibrul pieței de consum locale.
constrângere bugetară se numește suma de bani (venituri), destinate pentru achiziționarea unui anumit set de bunuri.
Dacă două bunuri, constrângerea I și prețurile pentru primul și al doilea buget sunt produse conexe
problemă matematică de alegere poate fi scrisă sub forma FMF:
În rezolvarea problemei selecției matematice (44) este de obicei înlocuită printr-o ecuație constrângere bugetară. Acest lucru se datorează faptului că valoarea funcției de utilitate crește odată cu creșterea lui x și y. minciuni maxime de pe extrema dreaptă și punctele joase. În consecință, sarcina de programare matematică poate fi înlocuită cu problema unei extremum condiționate: Asigurarea
în cazul în care - funcția obiectiv; - funcția de comunicare.
Lagrangianul pentru această problemă are forma:
Cuprinzând sistemul de ecuații liniare, care echivalează cu zero, primele derivatele parțiale ale funcției Lagrange:
Înmulțim prima ecuație de. iar al doilea - pe și scade a doua ecuație din prima:
Astfel, sistemul de ecuații pentru funcția trunchiată punctul Lagrange suspecte poate fi rescrisă ca:
Compararea (46) cu (42) obținem
și anume rata de înlocuire a primului produs este raportul celui de al doilea preț al primului produs la prețul de-al doilea.
Semnificația geometrică a extremum condiționată a unei funcții în punctul este faptul că gradienții funcției obiectiv și funcția de comunicare. care iese din punct. în mod necesar situate pe o linie dreaptă perpendicular pe liniile și nivelurile și funcțiile. Funcția de utilitate la nivel de linie este linia de indiferenta, iar comunicarea la nivel de linie funcționează la fel ca și constrângerea bugetară. Funcții de linie și niveluri. conținând punct. preocuparea cu privire la acest punct.
Gradientul funcției la punctele la dreapta în sus. De fapt,
dar, de asemenea, cu condiția pozitivă a problemei.
În mod similar, funcția de gradient se adresează.